Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 20 стр.

         Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел
интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует

и равен тройному интегралу                          ттт f (x , y, z )dv . Тогда, переходя к пределу
                                                        V

при r ® 0 , получим: IV =                     ттт f (x , y, z )dv , что и требовалось доказать.
                                               V



         Замечание.
         Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что
изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного
интеграла.


         Пример 4.

         Вычислим интеграл                    ттт xyzdxdydz , где V – треугольная пирамида с
                                               V

вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на
плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1).
Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху – плоскостью
x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:
                                          1        1- x        1- x - y

         ттт xyzdxdydz = т dx т                           dy     т        xyzdz .
             V                            0         0             0

         Множители, не зависящие от переменной интегрирования, можно
вынести за знак соответствующего интеграла:
1        1- x          1- x - y           1         1- x
                                                                  жz 2 1 - x - y ц
                                                                                 ч
т xdx т          ydy     т        zdz =   т xdx т           ydy ззз              ч
                                                                                 ч =
                                                                  зи 2     0     ч
                                                                                 ш
0            0            0               0             0
     1           1- x                        1
 1                                        21       ж
                                                   з         2y
                                                                2
                                                                              y3   y4 1 - x ц
                                                                                            ч
= т xdx           т     y (1 - x - y ) dy = т xdx зз (1 - x )     - 2(1 - x )    +          ч=
                                                                                            ч
 2                                         2       з
                                                   и           2               3    4    0  ч
                                                                                            ш
     0            0                          0
         1                                1
   1                     1
=    т x (1 - x )4 dx =    т (x - 4x 2 + 6x 3 - 4x 4 + x 5 )dx =
  24                    24
         0                                0



                                                                 20