Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 12 стр.

      2) кривой А1М1М2В, уравнение которой запишем                                              y = φ1*(x), где
φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и b1 ≤ x ≤ b, φ1*(х) = h при а1 ≤ х ≤ b1;
      3) прямыми x = a, x = b.
      Область D2 ограничена линиями y = φ1*(x), у = φ2(х), а1 ≤ х ≤ b1.
      Применим к внутреннему интегралу теорему о                                                      разбиении
промежутка интегрирования:
                   b жj 2 ( x )     ц                b   жj 1* (x )                  j 2 (x )               ц
                                                                                                            ч
                    зз              ч
                                    ч
               = т з т f (x , y )dy ч                  ззз                                                  ч
      ID
                   зи
                   з
                                    ч
                                    ч
                                     dx =           т зз т f (x , y )dy +              т*     f ( x , y )dy ч
                                                                                                            ч
                                                                                                            ч
                                                                                                            ч
                                                                                                             dx =
                 a j 1( x )         ш               a иj 1( x )                      j 1 (x )               ш
           жj 1* ( x )
               b            ц
                            ч
                                  b жj 2 ( x )                 ц
           зз               ч       зз                         ч
                                                               ч
       = т з т f (x , y )dy ч
                            чdx + т  з  т        f ( x , y )dy ч
                                                               чdx .
            з               ч        з                         ч
                                                               ч
         a зиj 1(x )        ч
                            ш     a зиj 1* ( x )               ш
      Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:
       b  жj 2 ( x )               ц
                                   ч
                                           a1  жj 2 ( x )               ц
                                                                        ч
                                                                                b1  жj 2 (x )               ц
                                                                                                            ч
          зз                       ч           зз                       ч           зз                      ч
      т ззз т*       f ( x , y )dy ч
                                   ч
                                   ч
                                   ч
                                    dx =   т ззз т*       f ( x , y )dy ч
                                                                        ч
                                                                        ч
                                                                        ч
                                                                         dx +   т ззз т*      f ( x , y )dy ч
                                                                                                            ч
                                                                                                            ч
                                                                                                            ч
                                                                                                             dx +
      a иj 1 ( x )                 ш       a иj 1 ( x )                 ш       a1 иj 1 ( x )               ш
           жj 2 ( x )
           b               ц
                           ч
           зз
      + т з т f (x , y )dy ч
                           ч
                           чdx .
            зз *           ч
                           ч
        b1 иj 1 ( x )      ш
      Поскольку φ1*(х) = φ2(х) при а ≤ х ≤ а1 и b1 ≤ x ≤ b, первый и третий
из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,
              жj 1* ( x )
                   b           ц
                               ч
                                                   b1 жj 2 (x )                ц
              зз                                      зз                       ч
       ID = т з т f (x , y )dy ч
                               ч
                               чdx +               т зз т*
                                                       з         f ( x , y )dy ч
                                                                               ч
                                                                               чdx ,
               зз              ч
                               ч                                               ч
                                                                               ч
            a иj 1( x )        ш                   a1 иj 1 ( x )               ш

то есть I D = I D1 + I D2 .


      Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое
число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D
будет равен сумме интегралов по частичным областям.




                                                         12