Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

23
Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄,
ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const.
Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху
(рис.12). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄
и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины
этого криволинейного четырехугольника Р
1
, Р
2
, Р
3
, Р
4
, где
P
1
(x
1
, y
1
), x
1
= φ(u, v), y
1
= ψ(u, v);
P
2
(x
2
, y
2
), x
2
= φ(u+Δu, v), y
2
= ψ(u+Δu, v);
P
3
(x
3
, y
3
), x
3
= φ(u+Δu, v+Δv), y
3
= ψ(u+Δu, v+Δv);
P
4
(x
4
, y
4
), x
4
= φ(u, v+Δv), y
4
= ψ(u, v+Δv).
Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими
дифференциалами. Тогда
() ()
() ()
() ()
11
22
33
44
(,), (,),
,,,,
,,,,
,,,.
xuvyuv
xuv uyuv u
uu
x
uv u v y uv u v
uv uv
xuv vyuv v
vv
jy
jy
jy
jj yy
jy
jy
jy
==
¶¶
=+D=+D
¶¶
¶¶ ¶¶
=+D+D=+D+D
¶¶ ¶¶
¶¶
=+D=+D
¶¶
При этом четырехугольник Р
1
Р
2
Р
3
Р
4
можно считать
параллелограммом и определить его площадь по формуле из
аналитической геометрии:
()()
3132 3231
()()()()Sxxyy xxyy
uvvvuv
uvvvuv
jjyjyy
D» - - - - - =
¶¶¶¶
D+ D D- D D+ D =
¶¶¶¶
.
uv
uv uv I S
uv vu
uv
jj
jy jy
yy
¶¶
¶¶ ¶¶
¶¶
ў
=-DD= DD=D
¶¶
¶¶
¶¶
(27) 
     Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄,
ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const.
Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху
(рис.12). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄
и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины
этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где
     P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);
     P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);
     P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);
     P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).
     Заменим      малые        приращения         Δu     и    Δv    соответствующими
дифференциалами. Тогда

                               x 1 = j (u , v ), y1 = y (u , v ),
                                    ¶j                              ¶y
                x 2 = j (u , v ) +     D u, y 2 = y (u , v ) +         D u,
                                    ¶u                              ¶u
                        ¶j          ¶j                              ¶y      ¶y
     x 3 = j (u , v ) +    Du +        D v, y 3 = y (u, v ) +          Du +    D v,
                        ¶u          ¶v                              ¶u      ¶v
                                    ¶j                              ¶y
                 x 4 = j (u , v ) +    D v, y 4 = y (u , v ) +         D v.
                                    ¶v                              ¶v
     При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4                             можно считать
параллелограммом       и    определить           его   площадь      по       формуле     из
аналитической геометрии:
     D S » (x 3 - x 1 )(y 3 - y 2 ) - (x 3 - x 2 )(y 3 - y 1 ) =

      (   ¶j
          ¶u
             Du +
                  ¶j
                  ¶v
                     Dv
                        ¶y
                        ¶v )
                           Dv -
                                ¶j
                                ¶v
                                   Dv
                                      ¶y
                                      ¶u
                                         Du +
                                              ¶y
                                              ¶v
                                                 Dv(                     )    =

                              ¶j                   ¶j
       ¶j ¶y   ¶j ¶y
     =       -       D uD v = ¶ u                  ¶ v D u D v = I D S ў.              (27)
       ¶u ¶v   ¶v ¶u          ¶y                   ¶y
                              ¶u                   ¶v




                                            23

Страницы