Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

25
Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому
значению которой соответствует то же самое значение функции z
= F(u, v) в области D΄, где
F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (30)
Рассмотрим интегральную сумму
(, ) (,) (,)| | ,
f
xy S Fuv S Fuv I S
ў
D= D» D
ее е
где интегральная сумма справа берется по области D΄ (здесь
,SxyS uv
ў
D=DD D =DD). Переходя к пределу при max 0S
ў
D®,
получим
формулу преобразования координат в двойном интеграле:
( , ) ( , ) | | .
DD
f
x y dxdy F u v I dudv
ў
=
тт тт
(31)
Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для
тройного интеграла:
(,,)
( ( , , ), ( , , ), ( , , )) | | ,
V
V
f x y z dxdydz
f
uvw uvw uvw I dudvdwjyc
ў
=
=
ттт
ттт
(32)
где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),
uvw
I
uvw
uvw
j
jj
yyy
ccc
¶¶
¶¶
¶¶
=
¶¶
¶¶
¶¶
, (33)
а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства
Ouvw. 
      Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому
значению которой соответствует то же самое значение функции                                      z
= F(u, v) в области D΄, где


                      F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)).                                       (30)
      Рассмотрим интегральную сумму

        е    f (x , y )D S =   е   F (u , v )D S »    е   F (u , v ) | I | D S ў,

где   интегральная             сумма    справа        берется        по    области   D΄   (здесь
D S = D x D y , D S ў = D u D v ). Переходя к пределу при max D S ў ® 0 ,
получим формулу преобразования координат в двойном интеграле:

                       тт f (x , y )dxdy = тт F (u, v ) | I          | dudv.                (31)
                        D                       Dў

      Аналогичным образом можно вывести подобную формулу для
тройного интеграла:

            ттт f (x , y, z )dxdydz =
             V
                                                                                           (32)
        =     ттт f (j (u, v, w ), y (u, v, w ), c (u, v, w )) | I    | dudvdw,
                 Vў

где x = φ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w),
                                   ¶j      ¶j        ¶j
                                   ¶u      ¶v        ¶w
                                   ¶y      ¶y        ¶y
                               I =                      ,                                 (33)
                                   ¶u      ¶v        ¶w
                                   ¶c      ¶c        ¶c
                                   ¶u      ¶v        ¶w
а область V пространства Оxyz отображается в область V΄ пространства
Ouvw.




                                                 25

Страницы