Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 26 стр.

Переход к цилиндрическим и сферическим координатами в тройном
интеграле
      Найдем, используя формулы (25), (26) и (33), якобианы перехода от
декартовых координат к цилиндрическим и сферическим:
      1)           для цилиндрических координат
                              cos j           - r sin j              0
                        I = sin j               r cos j              0 = r,                                                    (34)
                                  0                   0              1

      2)           для сферических координат

                         sin q cos j          - r sin q sin j                   r cos q cos j
               I = sin q sin j                  r sin q cos j                   r cos q sin j              = r 2 sin q.        (35)
                            cos q                                0                - r sin q

      Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим
координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
                                                             j   2   r 2 (j )         z 2 ( r ,j )

           ттт f (x , y, z )dxdydz = т dj т                                     rdr      т           F1( r , j , z )dz =
               V                                             j   1   r 1(j )          z1( r , j )
                                                                                                                           ,     (36)
                   q2         j 2 ( q)        r 2 ( j , q)
           =   т sin qd q т              dj      т           F2 ( r , j , q)r 2d r
                   q1         j 1 ( q)        r 1 ( j , q)

где смысл обозначений понятен из предыдущего текста.


      Пример 5.

      Вычислим интеграл от функции u = z x 2 + y 2 по области,
ограниченной поверхностями x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.
                                                                 p
                                                                 4     1                   1         ж pц   чж    3 1 цж 2 1 ц
                        x 2 + y 2dxdydz =
                                                                                                     з
                                                                                               zdz = зз j 4 чзз r     чзз z   ч
      ттт z                                                  т dj т r Чr d r т                       ззи 0 ш
                                                                                                            ч
                                                                                                            чз
                                                                                                            чиз 3 0ш
                                                                                                                      ч
                                                                                                                      ч з
                                                                                                                              ч
                                                                                                                              ч=
                                                                                                                      чзи 2 0 ч
                                                                                                                              ш
          V                                                      0     0                   0
              p 1 1  p
      =        Ч Ч =    .
              4 3 2  24



                                                                     26