Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
Определение 6. Определитель
uv
I
uv
j
j
yy
=
¶¶
называется
функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и
ψ(х,у).
Другая форма записи якобиана:
(, )
.
(,)
Dxy
I
Duv
=
Переходя к пределу при max 0S
ў
D® в равенстве (27), получим
геометрический смысл якобиана:
0
|| lim
S
S
I
S
ў
D®
D
=
ў
D
, (28)
то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно
малых площадок ΔS и ΔS΄.
Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие
якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если
x
1
= φ
1
(u
1
, u
2
,…,u
n
), x
2
= φ
2
(u
1
, u
2
,…,u
n
),…, x
n
= φ(u
1
, u
2
,…, u
n
), то
11 1
12
22 2
12
12
12
12
...
...
( , ,..., )
( , ,..., )
... ... ... ...
...
n
n
n
n
nn n
n
uu u
Dx x x
uu u
I
Du u u
uu u
jj j
jj j
jj j
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
==
¶¶
¶¶
(29)
При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых
областей пространств х
1
, х
2
,…, х
п
и u
1
, u
2
,…, u
n
.
7. Замена переменных в кратных интегралах
Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного
интеграла. 
                                                                ¶j    ¶j
      Определение      6.     Определитель                  I = ¶u    ¶v     называется
                                                                ¶y    ¶y
                                                                ¶u    ¶v
функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и
ψ(х,у).
                                                 D (x , y )
      Другая форма записи якобиана:                         = I.
                                                 D (u , v )
      Переходя к пределу при max D S ў ® 0 в равенстве (27), получим
геометрический смысл якобиана:
                                        DS
                      | I |=    lim          ,                                     (28)
                               D S ў® 0 D S ў

то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно
малых площадок ΔS и ΔS΄.
      Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие
якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если
x1= φ1(u1, u2,…,un), x2= φ2(u1, u2,…,un),…, xn= φ(u1, u2,…, un), то


                     ¶j 1       ¶j 1        ¶j 1
                                        ...
                     ¶ u1       ¶ u2        ¶ un
                     ¶j 2       ¶j 2        ¶j 2
                                        ...        D (x 1, x 2 ,..., x n )
                 I = ¶ u1       ¶ u2        ¶ un =                                 (29)
                      ...        ...    ... ...    D (u1, u 2 ,..., u n )

                       ¶j n     ¶j n             ¶j n
                                        ...
                       ¶ u1     ¶ u2             ¶ un
      При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых
областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .



7. Замена переменных в кратных интегралах
      Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного
интеграла.


                                              24

Страницы