Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 28 стр.

    II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
                                         ИНТЕГРАЛЫ

1. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и
вычисление
     Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f,
определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi
длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим
                               n
интегральную сумму            е      f (M i )D si . Назовем d длину наибольшего отрезка
                              i= 1

кривой: d = max D si .
                  1Ј i Ј n




     Определение 7. Если существует конечный предел интегральной
           n
суммы     е      f (M i )D si , не зависящий ни от способа разбиения кривой на
          i= 1

отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным
интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается
                                                               n

                   т f (M )ds = т f (x , y , z )ds =   lim
                                                       d® 0
                                                              е      f (M i )D si .        (37)
                   L                 L                        i= 1

     Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то
интеграл (36) равен массе рассматриваемой кривой.



Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

     1.          Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл                   т f (M )ds
                                                                                      L

существует.
     2.          Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления
движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих

                                                28