Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 29 стр.

кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А
и В, то

                                     т    f (M )ds =          т      f (M )ds .                  (38)
                                 (A B )                     ( BA )




      Справедливость            этих              свойств            следует          из   определения
криволинейного интеграла 1-го рода.



Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода
      Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим,
что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s.
Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s),
где 0 Ј s Ј S . Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией
одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма
              n                           n

             е       f (M i )D si =      е      f (x (si ), y (si ), z (si ))D si ,
             i= 1                        i= 1

где si - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для
                                 S
определенного интеграла         т f (x (s ), y (s ), z (s ))ds. Следовательно,
                                 0
                                  S

              т f (M )ds = т f (x (s ), y (s ), z (s ))ds.                                       (39)
                 L                   0



      Если же кривая L задана в параметрической форме:
             x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),                   t0 ≤ t ≤ T,
то, применяя в интеграле (39) формулу замены переменной и учитывая,
что дифференциал дуги

              ds =        (j ў(t ))2 + ( y ў(t ))2 + ( c ў(t ))2dt ,
получим:


                                                      29