Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
2. Криволинейный интеграл второго рода
Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана
функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом
отрезке точку M
i
и умножим значение функции в этой точке не на длину i-
го отрезка, как в случае криволинейного интеграла 1-го рода, а на
проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность x
i
– x
i-1
=
Δx
i
. Составим из полученных произведений интегральную сумму
1
()
n
ii
i
f
Mx
=
D
е
.
Определение 8. Если существует конечный предел при 0d ®
интегральной суммы
1
()
n
ii
i
f
Mx
=
D
е
, не зависящий от способа разбиения
кривой на отрезки и выбора точек M
i
, то он называется криволинейным
интегралом второго рода
от функции f(M) по кривой L и обозначается
0
()
() (,,) lim
d
LAB
fMdx fxyzdx
®
==
тт
1
()
n
ii
i
f
Mx
=
D
е
. (43)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы
2-го рода вида
() ()
(,,) , (,,) .
AB AB
f
xyzdy fxyzdz
тт
Определение 9. Если вдоль кривой L определены функции
P(M) = =P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно
считать компонентами некоторого вектора
{, , }FPQR=
r
, и существуют
интегралы
() () ()
(,,) , (,,) , (,,)
AB AB AB
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
ттт
,
тогда их сумму называют
криволинейным интегралом второго
рода (общего вида)
и полагают 
2. Криволинейный интеграл второго рода
          Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана
функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом
отрезке точку Mi и умножим значение функции в этой точке не на длину i-
го отрезка, как в случае криволинейного интеграла 1-го рода, а на
проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность                                                           xi – xi-1 =
Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму
 n

е      f (M i )D x i .
i= 1

          Определение 8. Если существует конечный предел при d ® 0
                                        n
интегральной суммы                     е       f (M i )D x i , не зависящий от способа разбиения
                                       i= 1

кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным
интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается
                                                                                                 n

                               т f (M )dx          =        т    f (x , y , z )dx = lim
                                                                                         d® 0
                                                                                                е      f (M i )D x i .       (43)
                               L                        (A B )                                  i= 1

          Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы
2-го рода вида

                                               т     f (x , y , z )dy ,      т       f (x , y , z )dz .
                                            (A B )                          (A B )

          Определение 9. Если вдоль кривой L определены функции
P(M) = =P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно
                                           r
считать компонентами некоторого вектора F = {P ,Q , R } , и существуют
интегралы

                  т       P (x , y , z )dx ,        т       Q (x , y , z )dy ,       т    R (x , y , z )dz ,
                 (A B )                            (A B )                        (A B )

          тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго
рода (общего вида) и полагают



                                                                    31

Страницы