Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 30 стр.

                             T

      т f (M )ds = т f (j (t ), y (t ), c (t ))           (j ў(t ))2 + ( y ў(t ))2 + ( c ў(t ))2dt . (40)
       L                     t0

      В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
                                            x2

                  т f (M )ds = т f (x , j (x ))              1 + (j ў(x ))2dx .                    (41)
                     L                      x1

      Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода
сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции
переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой
переменной на рассматриваемой кривой.


      Пример 7.
                                                м
                                                п x = 2 cos t ,
                                                п
                                                п
      Вычислить              т    xyzds, где L: п
                                                н y = 2 sin t , 0 Ј t Ј 2p . Применяя
                                                п
                                                п
                             L                  п   z = t,
                                                п
                                                о
формулу (40), получим:

            2p                                                                           2p

т xyzds = т 2 cos t Ч2 sin t Чt Ч                4 sin 2 t + 4 cos2 t + 1dt = -        5 т td (cos 2t ) =
L           0                                                                            0


                                       2p            ц
                ж         2p                         ч                           1       2p
                з                                    ч= -
      = -   5 зз t cos 2t
               зи          0
                             -         т    cos 2tdt ч
                                                     ч
                                                     ч
                                                     ш
                                                                5 Ч2p +       5 Ч sin 2t
                                                                                 2        0
                                                                                            = - 2 5p .
                                        0



      Если кривая задана на плоскости в полярных координатах:

      r = r (j ), j      1   Ј j Ј j 2 , то элемент длины дуги ds =                   r 2 + r&2d j , и
                                        j   2


                 т f (x , y )ds = т f (j , r (j ))          r 2 + r&2d j .                         (42)
                 L                      j   1




                                                     30