Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
()AB
Pdx Qdy Rdz++=
т
() () ()
(,,) (,,) (,,)
AB AB AB
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz++
тт т
. (44)
Замечание. Если считать, что вектор F
r
представляет собой силу
{, , }FPQR=
r
, действующую на точку, движущуюся по кривой (АВ), то
работа этой силы может быть представлена как
() ()AB AB
Pdx Qdy Rdz F dr++= Ч
тт
r
r
,
то есть криволинейным интегралом 2-го рода.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ),
то интеграл (44) существует (справедливость этого утверждения следует из
определения 9).
2.
При изменении направления кривой (то есть перемены
местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го
рода меняет знак:
() ()
() ().
AB BA
f
Mdx fMdx=-
тт
(45)
Действительно, при этом изменяется знак Δx
i
в интегральной сумме. 
      т       Pdx + Qdy + R dz =
     (A B )


      т       P (x , y , z )dx +    т       Q (x , y , z )dy +    т       R (x , y , z )dz .        (44)
     (A B )                        (A B )                        (A B )



                                         r
     Замечание. Если считать, что вектор F представляет собой силу
r
F = {P ,Q , R } , действующую на точку, движущуюся по кривой (АВ), то
работа этой силы может быть представлена как
                                                                                         r r
                                      т      Pdx + Qdy + R dz =                   т      F Чdr ,
                                    (A B )                                      (A B )

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.



Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
     1.         Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ),
то интеграл (44) существует (справедливость этого утверждения следует из
определения 9).


     2.         При изменении направления кривой (то есть перемены
местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го
рода меняет знак:

                                        т      f (M )dx = -        т       f (M )dx .              (45)
                                      (A B )                      ( BA )




     Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.




                                                         32

Страницы