Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 34 стр.

                                                                       b

 т       P (x , y , z )dx + Q (x , y , z )dy + R (x , y , z )dz =      т (P (j (t ), y (t ), c (t ))j ў(t ) +
(A B )                                                                 a

                + Q (j (t ), y (t ), c (t ))y ў(t ) + R (j (t ), y (t ), c (t ))c ў(t ))dt .            (47)


           Пример 8.

           Вычислим интеграл                  т x 3dx +     2xy 2dy - 3x 2zdz , где L – отрезок
                                              L

прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой
прямой в параметрическом виде:
                                          м
                                          п  x = 1 - t,
                                          п
                                          п
                                          п
                                          н y = 2 - 3t , 0 Ј t Ј 1.
                                          п
                                          п
                                          п
                                          пz = - 2 + 2t ,
                                          п
                                          о
           Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

           т x 3dx +         2xy 2dy - 3x 2zdz =
            L
                 1
           =    т ((1 -      t )3 Ч(- 1) + 2(1 - t )(2 - 3t )2 (- 2) - 3(1 - t )2 (2t - 2) Ч2 )dt =
                 0


                 1
                                                                                        1
           =    т (25t
                 0
                         3          2
                             - 51t + 31t - 5)dt =             (   25 4
                                                                   4
                                                                            3
                                                                     t - 17t +
                                                                               31 2
                                                                               2
                                                                                 t - 5t
                                                                                        0
                                                                                             1
                                                                                          = - .
                                                                                             4     )

3. Формула Грина
           Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской
области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.
           Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L
правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и
сверху, заданы уравнениями
           y = y1(x) и y = y2(x), y1(x) ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b (рис.13).
                                                         34