Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

35
y
Рис. 13.
Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имею-
щие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл
(, )
D
Pxy
dxdy
y
тт
.
Переходя к двукратному интегралу, получим:
()
2
1
21
()
2
1
()
(, () (, ()
()
(, )
()
.
b
a
byx b
Dayx a
Pxyx Pxyxdx
yx
PP
dxdy dy dx P x y dx
yy
yx
-
жц
ч
¶¶
з
ч
з
===
ч
з
ч
з
¶¶
ч
з
иш
=
т
тт т т т
(48)
Так как у = у
2
(х) – параметрическое выражение кривой МSN, то
2
(, ()) (, ) ,
b
aMSN
Pxy x dx Pxydx=
тт
где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MSN. Аналогично
получаем, что
1
(, ()) (, ) (, )
b
aMTNNTM
Pxy x dx Pxydx Pxydx==-
ттт
.
Подставим полученные результаты в формулу (48):
(, ) (, ) (,) ,
DMSNNTML
P
dxdy P x y dx P x y dx P x y dx
y
=+=
тт т т т
С
(49)
так как контур L представляет собой объединение кривых MSN и NTM. 
                                                                                  y
                                                             Рис. 13.


     Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имею-
щие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл
                                 ¶ P (x , y )
                        тт          ¶y
                                              dxdy .
                         D

     Переходя к двукратному интегралу, получим:
                                 жy 2 ( x )
                                 b             ц                      b           y 2 (x )
              ¶P                 зз         ¶P ч
     тт       ¶y
                 dxdy =      т ззз т ¶ y dy ччччdx =                  т P (x , y ) y1(x ) dx   =
      D                      a иy1( x )        ш                      a
                                                                                                          (48)
          b

     =    т (P (x , y 2 (x ) -       P (x , y 1 (x ) )dx .
          a

     Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МSN, то
                   b

                   т P (x , y 2 (x ))dx          =     т     P (x , y )dx ,
                   a                                 MSN

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MSN. Аналогично
получаем, что
                   b

                   т P (x , y1(x ))dx           =      т     P (x , y )dx = -      т    P (x , y )dx .
                   a                                 MT N                        NT M

     Подставим полученные результаты в формулу (48):
              ¶P
     тт       ¶y
                 dxdy =          т      P (x , y )dx +            т   P (x , y )dx =   тСP (x , y )dx ,   (49)
      D                      MSN                              NT M                     L

так как контур L представляет собой объединение кривых MSN и NTM.


                                                             35

Страницы