Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода
Теорема 4. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана
непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (40) существует и имеет
место равенство
()
(,,) ((), (), ()) ()
AB
f
xyzdx f t t t tdt
b
a
jycj
ў
=
тт
. (46)
Доказательство.
Запишем Δx
i
= x
i
– x
i-1
= φ(t
i
) – φ(t
i-1
) и преобразуем последнюю
разность по формуле Лагранжа: φ(t
i
) – φ(t
i-1
) = φ΄(τ
i
)Δt
i
, где τ
i
– некоторое
значение t, заключенное между t
i-1
и t
i
. Выберем точку М
i
так, чтобы ее
координаты соответствовали значению параметра, равному τ
i
: M
i
(φ(τ
i
),
ψ(τ
i
), χ(τ
i
)). Подставив эти значения в формулу (43), получим:
0
1
()
( ) lim ( ( ), ( ), ( )) ( )
n
iii ii
d
i
AB
f
Mdx f tjt yt ct j t
®
=
ў
=D
е
т
.
Справа получен предел интегральной суммы для функции
f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от
этой функции:
()
(,,) ((), (), ()) ()
AB
f
xyzdx f t t t tdt
b
a
jycj
ў
=
тт
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для
криволинейных интегралов вида
() ()
(,,) , (,,)
AB AB
f
xyzdy fxyzdz
тт
, откуда
следует, что 
Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода


      Теорема 4. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
                           x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),                     α≤t≤β,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана
непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (40) существует и имеет
место равенство
                                                          b

                            т      f (x , y , z )dx =     т f (j (t ), y (t ), c (t ))j ў(t )dt .               (46)
                          (A B )                          a

Доказательство.
      Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю
разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое
значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее
координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi),
ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (43), получим:
                                                   n

                   т      f (M )dx = lim е f (j ( t i ), y ( t i ), c ( t i ))j ў( t i )D t i .
                                           d® 0
                 (A B )                           i= 1


      Справа     получен             предел            интегральной                  суммы         для     функции
f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от
этой функции:
                                               b

                 т       f (x , y , z )dx =    т f (j (t ), y (t ), c (t ))j ў(t )dt ,
                (A B )                         a

что и требовалось доказать.


      Следствие.          Аналогичные                  соотношения                   можно         получить       для

криволинейных интегралов вида                            т      f (x , y , z )dy ,    т       f (x , y , z )dz , откуда
                                                       (A B )                        (A B )

следует, что



                                                         33

Страницы