Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

36
Так же можно получить, что (, ) .
DL
Q
dxdy Q x y dy
x
=-
тт т
С
(50)
Вычтем из равенства (49) равенство (50):
.
DL
PQ
dxdy Pdx Qdy
yx
¶¶
жц
ч
з
-=+
ч
з
ч
иш
¶¶
тт т
С
При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим
направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:
.
DL
QP
dxdy Pdx Qdy
xy
¶¶
жц
ч
з
-=+
ч
з
ч
иш
¶¶
тт т
С
(51)
Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и
криволинейным интегралом 2-го рода, называется
формулой Грина.
Замечание. Если в криволинейном интеграле по замкнутому
контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он
производится против часовой стрелки. Это направление считается
положительным.
Пример 9
.
Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода ,
L
Pdx Qdy+
т
С
где
,,PxyQxy=+ =- по контуру L, состоящему из частей кривых
у = -х
2
и у = -1 (направление обхода положительно). 
                                               ¶Q
     Так же можно получить, что          тт    ¶x
                                                  dxdy = -   тСQ (x , y )dy .   (50)
                                         D                   L

     Вычтем из равенства (49) равенство (50):
                             ж¶ P        ¶Q ц
                        тт ззи ¶ y   -      ч
                                            чdxdy =
                                         ¶x ш           тСPdx + Qdy .
                         D                              L

     При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим
направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:
                      ж¶ Q ¶ P           ц
                                         ч
                   тт ззи ¶ x - ¶ y      чdxdy =
                                         ш          тСPdx + Qdy .                (51)
                    D                               L

     Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и
криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.


     Замечание. Если в криволинейном интеграле по замкнутому
контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он
производится против часовой стрелки. Это направление считается
положительным.


     Пример 9.

     Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода                   тСPdx + Qdy,         где
                                                                   L

P = x + y , Q = x - y , по контуру L, состоящему из частей кривых
     у = -х2 и у = -1 (направление обхода положительно).




                                          36

Страницы