Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

38
Тогда
() ( )
0
MSN NT M L
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy++ += +=
ттт
С
, где
L – замкнутый контур, составленный из кривых MSN и NTM
(следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом,
условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути
интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому
замкнутому контуру равен нулю.
Теорема 5 (теорема Грина). Пусть во всех точках некоторой
области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные
P
y
и
Q
x
. Тогда для того, чтобы для любого замкнутого контура L,
лежащего в области D, выполнялось условие
0
L
Pdx Qdy+=
т
С
,
необходимо и достаточно, чтобы
P
y
=
Q
x
во всех точках области D.
Доказательство.
1) Достаточность: пусть условие
P
y
=
Q
x
выполнено. Рассмотрим
произвольный замкнутый контур L в области D, ограничивающий область
S, и напишем для него формулу Грина:
0
S
QP
Pdx Qdy
xy
¶¶
жц
ч
з
+= - =
ч
з
ч
иш
¶¶
ттт
С
.
Итак, достаточность доказана.
2) Необходимость: предположим, что условие 0
L
Pdx Qdy+=
т
С
выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой
области, в которой
Q
x
-
P
y
≠ 0. Пусть, например, в точке P(x
0
, y
0
) 
     Тогда     т       Pdx + Qdy +      т        Pdx + Qdy =      тСPdx + Qdy =       0 , где
             ( MSN )                  ( NT M )                    L

L – замкнутый контур, составленный из кривых MSN и NTM
(следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом,
условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути
интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому
замкнутому контуру равен нулю.


     Теорема 5 (теорема Грина). Пусть во всех точках некоторой
области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные
¶P   ¶Q
   и    . Тогда для того, чтобы для любого замкнутого контура L,
¶y   ¶x
лежащего в области D, выполнялось условие

                                  тСPdx + Qdy =           0,
                                  L

                                        ¶P   ¶Q
необходимо и достаточно, чтобы             =    во всех точках области D.
                                        ¶y   ¶x
Доказательство.
                                                   ¶P ¶Q
     1) Достаточность: пусть условие                 =   выполнено. Рассмотрим
                                                   ¶y ¶x
произвольный замкнутый контур L в области D, ограничивающий область
S, и напишем для него формулу Грина:
                                                           ж¶ Q       ¶P   ц
                              тСPdx + Qdy = тт зиз ¶ x            -
                                                                      ¶y
                                                                           ч
                                                                           ч= 0 .
                                                                           ш
                              L                       S

     Итак, достаточность доказана.

     2) Необходимость: предположим, что условие                        тСPdx + Qdy =       0
                                                                           L

выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой
                         ¶Q ¶P
области, в которой         -   ≠ 0. Пусть, например, в точке                        P(x0, y0)
                         ¶x ¶y



                                            38

Страницы