Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

40
При этом функцию и можно найти по формуле
00 0
000
(,,) ( ,,) ( , ,) ,
x
yz
xy z
u Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz C=+ + +
тт т
(53)
где (x
0
, y
0
, z
0
) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.
Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и,
заданной формулой (53), равны P, Q и R.
Пример 10
.
Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
(2,3,4)
(1,1,1)
yzdx xzdy xydz++
т
по произвольной кривой, соединяющей точки
(1, 1, 1) и (2, 3, 4).
Убедимся, что выполнены условия (52):
() () () ()
,,
xy xz yz xy
x
y
yz zx
¶¶
== ==
¶¶
() ()
.
xz yz
z
xy
¶¶
==
¶¶
Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (53),
положив x
0
= y
0
= z
0
= 0. Тогда
00 0
000
x
yz
uyzdx zdy dzCxyzC=+Ч + Ч += +
тт т
.
Таким образом, функция и определяется с точностью до
произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz.
Следовательно,
(2,3,4)
(1,1,1)
(2, 3, 4)
234 111 23.
(1,1,1)
yzdx xzdy xydz xyz++= =ЧЧ- ЧЧ=
т
          При этом функцию и можно найти по формуле
                      x                  y                      z
            u =    т P (x , y, z )dx + т Q (x 0, y, z )dy + т R (x 0, y 0, z )dz + C ,         (53)
                      x0                 y0                     z0

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.
Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и,
заданной формулой (53), равны P, Q и R.


          Пример 10.
          Вычислить                  криволинейный             интеграл            2-го        рода
(2,3,4)

  т       yzdx + xzdy + xydz по произвольной кривой, соединяющей точки
(1,1,1)

(1, 1, 1) и (2, 3, 4).
          Убедимся, что выполнены условия (52):
           ¶ (xy )   ¶ (xz )      ¶ (yz )   ¶ (xy )      ¶ (xz )   ¶ (yz )
                   =         = x,         =         = y,         =         = z.
             ¶y        ¶z           ¶z        ¶x           ¶x        ¶y
          Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (53),
положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда
                  x              y              z
           u =    т yzdx + т 0 Чzdy + т 0 Ч0dz + C                   = xyz + C .
                  0              0              0

          Таким            образом,    функция      и      определяется      с     точностью     до
произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz.
Следовательно,
(2,3,4)                                       (2, 3, 4)
  т       yzdx + xzdy + xydz = xyz
                                              (1,1,1)
                                                          = 2 Ч3 Ч4 - 1 Ч1 Ч1 = 23.
(1,1,1)




                                                    40

Страницы