Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

41
5. Поверхностный интеграл первого рода
Если при определении длины кривой она задавалась как предел
вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины
наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на
площадь криволинейной поверхности может привести к противо-речию
(пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в
цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между
точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к
бесконечности). Поэтому определим площадь поверхности иным
способом. Рассмотрим незамкнутую поверхность S, ограниченную
контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S
1
, S
2
,…, S
n
.
Выберем в каждой части точку M
i
и спроектируем эту часть на
касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку.
Получим в проекции плоскую фигуру с площадью T
i
. Назовем ρ
наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.
Определение 10. Назовем
площадью S поверхности предел суммы
площадей T
i
при 0r ®:
0
lim
i
i
ST
r ®
=
е
. (54)
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и
разобьем ее на части S
1
, S
2
,…, S
п
(при этом площадь каждой части тоже
обозначим S
п
). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение
функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S
i
точку M
i
(x
i
, y
i
, z
i
) и составим
интегральную сумму
11
() (,,)
nn
ii iiii
ii
f
MS fxyzSs
==
==
ее
. (55)
Определение 11. Если существует конечный предел при 0r ®
интегральной суммы (55), не зависящий от способа разбиения поверхности 
5. Поверхностный интеграл первого рода
      Если при определении длины кривой она задавалась как предел
вписанной в данную кривую ломаной при стремлении к нулю длины
наибольшего ее отрезка, то попытка распространить это определение на
площадь криволинейной поверхности может привести к противо-речию
(пример Шварца: можно рассмотреть последовательность вписанных в
цилиндр многогранников, у которых наибольшее расстояние между
точками какой-либо грани стремится к нулю, а площадь стремится к
бесконечности).    Поэтому           определим               площадь              поверхности   иным
способом.   Рассмотрим           незамкнутую               поверхность             S,   ограниченную
контуром L, и разобьем ее какими-либо кривыми на части S1, S2,…, Sn.
Выберем в каждой части точку Mi и спроектируем эту часть на
касательную плоскость к поверхности, проходящую через эту точку.
Получим в проекции плоскую фигуру с площадью Ti. Назовем ρ
наибольшее расстояние между двумя точками любой части поверхности S.


      Определение 10. Назовем площадью S поверхности предел суммы
площадей Ti при r ® 0 :

                        S = lim е T i .                                                         (54)
                                 r® 0
                                        i

      Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и
разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже
обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение
функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим
интегральную сумму
                         n                      n
                  s =   е      f (M i )S i =   е      f (x i , y i , z i )S i .                 (55)
                        i= 1                   i= 1



      Определение 11. Если существует конечный предел при r ® 0
интегральной суммы (55), не зависящий от способа разбиения поверхности

                                                41

Страницы