Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

42
на части и выбора точек M
i
, то он называется поверх-ностным
интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S
и обозначается
0
1
() (,,) lim ( )
n
ii
i
SS
f
MdS fxyzdS fM S
r ®
=
==
е
тт тт
. (56)
Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными
свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной
функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).
Геометрический и физический смысл
поверхностного интеграла 1-го рода
Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 11
следует, что
S
dS
тт
равен площади рассматриваемой поверхности S.
Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S,
то масса этой поверхности равна
( )
S
M
fMdS=
тт
. (57)
6. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода
Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом,
то есть уравнением вида z = φ(x, y). При этом из определения пло-щади
поверхности следует, что S
i
=
cos
i
i
s
g
D
, где Δσ
i
– площадь проекции S
i
на
плоскость Оху, а γ
i
– угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в
точке M
i
. Известно, что 
на части и выбора точек Mi, то он называется поверх-ностным
интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S
и обозначается


                                                                 n

                тт f (M )dS   =   тт f (x , y, z )dS   = lim е f (M i )S i .   (56)
                                                         r® 0
                   S               S                            i= 1




     Замечание. Поверхностный интеграл 1-го рода обладает обычными
свойствами интегралов (линейность, суммирование интегралов от данной
функции по отдельным частям рассматриваемой поверхности и т.д.).



Геометрический и физический смысл
поверхностного интеграла 1-го рода


     Если подынтегральная функция f(M) ≡ 1, то из определения 11

следует, что   тт dS   равен площади рассматриваемой поверхности S.
               S

     Если же считать, что f(M) задает плотность в точке М поверхности S,
то масса этой поверхности равна

                       M =   тт f (M )dS .                                     (57)
                              S




6. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода
     Ограничимся случаем, когда поверхность S задается явным образом,
то есть уравнением вида z = φ(x, y). При этом из определения пло-щади
                                        Ds i
поверхности следует, что Si =                 , где Δσi – площадь проекции Si на
                                       cos gi
плоскость Оху, а γi – угол между осью Oz и нормалью к поверхности S в
точке Mi. Известно, что

                                           42

Страницы