Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 44 стр.

        Пример 11.

        1.       Вычислим   тт xydS , где S – часть плоскости 3х + 4у + 5z = 36,
                             S

расположенная в первом октанте. Преобразуем это уравнение к виду
        3x + 4y - 36                  3          4
z = -                , откуда j xў = - , j yў = - ,                   1 + j xў2 + j yў2 =   2.
             5                        5          5
Проекцией плоскости S на плоскость Оху является треугольник с
вершинами в точках (0, 0), (12, 0) и (0, 9). Тогда из формулы (58) получим:
                                                 3
                                      12    9-     x             12                2
                                                 4

тт xydS
 S
             =    2 тт xydxdy =
                    W
                                  2 т xdx
                                      0
                                             т
                                                 0
                                                       ydy =
                                                                2
                                                               2 т
                                                                 0
                                                                   x 9(-
                                                                         3
                                                                         4     )
                                                                           x dx =

     12
                                               9 4 12
=
   2
  2 т
        81
         0
          x -(27 2
               2
                 x +
                      9 3
                     16
                        x dx =
                               2 2)
                                2 81 2 9 3
                                    x -
                                        2
                                          x +
                                              64
                                                 x
                                                    0(= 486 2.                 )

7. Поверхностный интеграл второго рода,
его свойства и вычисление
        Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой
поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и
проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное
направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности
замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0.
Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений
проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит
нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль
вернется в точке М0 в первоначаль-ное положение при любом выборе
точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же
направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на
противо-положное, поверхность называется односторонней (примером
односторонней поверхности служит лист Мебиуса).



                                            44