Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 46 стр.

                        n                     n
               s =     е      f (M i )Di =   е      f (x i , y i , z i )Di .                    (59)
                       i= 1                  i= 1

        Определение 14. Если существует конечный предел суммы (59) при
ρ→0, не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на
ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от
функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

                       тт f (M )dxdy = тт f (x , y, z )dxdy .                                  (60)
                        S                           S



        Замечание. В этой символической записи не содержится указания на
то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать
отдельно.


        Подобным образом можно проектировать части поверхности на
координатные плоскости Оxz и Оyz (при условии, что уравнение
поверхности можно представить в виде                             y = y(x, z) или x = x(y, z) ).
Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

              тт f (x , y, z )dxdz      и    тт f (x , y, z )dydz .                            (61)
               S                              S

        Рассмотрев сумму интегралов вида (60) и (61) по одной и той же
поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z),
        R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего
вида:

               тт P (x , y, z )dydz + Q (x , y , z )dxdz +              R (x , y , z )dxdy .    (62)
                   S




     Замечание. Здесь вновь функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) можно
                                                  r
рассматривать как компоненты некоторого вектора F = {P ,Q , R }.


        Отметим основное свойство поверхностного интеграла 2-го рода:

                                                    46