Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

48
(,,) (,,) (,,) (,,(,)
S D
Pxyzdxdy Qxyzdxdz Rxyzdydz Pxyzxydxdy++=± ±
тт тт
(,(,),) ((,),,) ,
DD
Q x y x z z dxdz R x y z y z dydz
ўўў
±±
тт тт
(65)
где D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и
Oyz.
Пример 12.
Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода ,
S
dxdy
тт
где S –
нижняя сторона части конуса
22
zxy=+ при 01.zЈЈ
Применим формулу (64), учитывая, что выбрана нижняя сторона
поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг
22
1xy+ Ј :
21
00
.
SD
dxdy dxdy d d
p
jrr p=- =- =-
тт тт т т
8. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Учитывая, что проекции элемента поверхности S
i
на координатные
плоскости имеют вид S
i
cosγ, S
i
cosβ, S
i
cosα, из (64) получим:
(,,) (,,) (,,)
S
P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy++=
тт
()
cos cos cos
SS
Q R dS A ndSabg=++=
тт тт
r
r
Р
, (66)
где векторное поле
{, , }
A
PQR=
r
, а n
r
- векторное поле единичных
нормалей заданного направления в каждой точке поверхности.
Следовательно, поверхностный интеграл 2-го рода (65) равен
поверхностному интегралу 1-го рода (66). Эта формула предоставляет еще 
тт P (x , y, z )dxdy + Q (x , y, z )dxdz +        R (x , y , z )dydz = ± тт P (x , y , z (x , y )dxdy ±
 S                                                                             D



± тт Q (x , y (x , z ), z )dxdz ±     тт R (x (y, z ), y, z )dydz ,                               (65)
     Dў                                D ўў

где D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и
Oyz.


          Пример 12.

          Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода                               тт dxdy,    где S –
                                                                                    S

нижняя сторона части конуса z =                   x 2 + y 2 при 0 Ј z Ј 1.
          Применим формулу (64), учитывая, что выбрана нижняя сторона
поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг
x2 + y2 Ј 1:
                                                         2p     1

                        тт dxdy = - тт dxdy = - т dj т r d r             = - p.
                         S              D                0      0




8. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
          Учитывая, что проекции элемента поверхности Si на координатные
плоскости имеют вид Sicosγ, Sicosβ, Sicosα, из (64) получим:

          тт P (x , y, z )dydz + Q (x , y , z )dxdz +   R (x , y , z )dxdy =
              S
                                                                      rr
          =       тт   ( Р cos a + Q cos b + R cos g )dS =      тт    A ndS ,                     (66)
                  S                                              S
                   r                    r
где векторное поле A = {P , Q , R } , а n - векторное поле единичных
нормалей               заданного    направления         в     каждой        точке       поверхности.
Следовательно,               поверхностный         интеграл          2-го      рода     (65)     равен
поверхностному интегралу 1-го рода (66). Эта формула предоставляет еще


                                                   48

Страницы