Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 47 стр.

          При             замене       рассматриваемой             стороны            поверхности     на
противоположную поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак:

          тт P (x , y, z )dydz + Q (x , y, z )dxdz +
                 +
                                                               R (x , y , z )dxdy =
             S

          = -        тт P (x , y, z )dydz + Q (x , y, z )dxdz +     R (x , y , z )dxdy .            (63)
                     S-

          Справедливость этого утверждения следует из определения 14.



Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода
          Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S
в виде п = {cos α, cos β, cos γ}, где α, β, γ – углы, образованные нормалью с
                                                                     Si
осями координат, то Di = S i cos g =                                                       (выбор знака
                                                               ± 1 + z xў2 + z yў2

зависит от направления нормали). Тогда из (59), (60) следует, что

тт f (M )dxdy = тт f (x , y, z (x , y )) cos gdS               =
 S                            S
                                        dS
=    тт   f (x , y , z (x , y ))
                                          ў2   ў
                                   ± 1 + zx + zy 2
                                                   =
     D

                                            1
= ± тт f (x , y , z (x , y ))                              1 + z xў2 + z yў2dxdy = .
         D                            1 + z xў2 + z yў2
                                                                                                    (64)
= ± тт f (x , y , z (x , y ))dxdy
         D



          Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение
для dS взято из формулы (58). Таким образом, вычисление поверх-
ностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного
интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z
подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти
рассуждения, получим, что



                                                          47