Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 45 стр.

     Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в
одной точке однозначно определяет направление нормали во всех точках
поверхности.


     Определение 12. Совокупность всех точек поверхности с одинако-
     вым направлением нормали называется стороной поверхности.



Ориентация поверхности
     Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S,
ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.


     Определение 13. Назовем положительным направление обхода
контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой
стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке
нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной
стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем
отрицательным.


     Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по
аналогии с соответствующим криволинейным интегралом. Рассмотрим
гладкую двустороннюю поверхность S, заданную уравнением z = z(x, y), в
каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z), и выберем
какую-либо из ее сторон (или, что то же самое, определенную
ориентацию). Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в
каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции
части Si на плоскость Оху. При этом будем считать, проекция части
верхней по отношению к плоскости Оху стороны рассматриваемой
поверхности имеет знак «+», а нижней – знак «-». Составим сумму



                                    45