Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

43
22
1
cos
1(,)(,)
i
x
ii y ii
x
yxy
g
jj
=
ўў
++
,
где (x
i
, y
i
, z
i
) – координаты точки M
i
. Cледовательно,
22
1(,)(,)
ixiiyiii
Sxyxy
j
js
ўў
=+ + D.
Подставляя это выражение в формулу (55), получим, что
11
(,,) (,,(, ))
nn
iii i ii ii
ii
f
xyzS fxy xyj
==
=
ее
22
1(,)(,),
x
ii y ii i
xy xy
j
js
ўў
++D
где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху,
являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.15).
Рис. 15
При этом в правой части получена интегральная сумма для функции
двух переменных по плоской области, которая в пределе при
max 0
i
d ®
дает двойной интеграл
22
(,,(,))1 ( (,)) ( (,)) .
xy
f
xy xy xy xy dxdyjjj
W
ўў
++
тт
Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление
поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:
(,,)
S
f
xyzdS=
тт
22
(,,(,))1 ( (,)) ( (,)) .
xy
f
xy xy xy xy dxdyjjj
W
ўў
++
тт
(58)
Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (58) стоит
поверхностный интеграл, а в правой – двойной. 
                                                                  1
                         cos gi =                                                            ,
                                               1 + j xў2 (x i , y i ) + j yў2 (x i , y i )

где (xi, yi, zi) – координаты точки Mi. Cледовательно,

                            Si =           1 + j xў2 (x i , y i ) + j yў2 (x i , y i )D s i .
          Подставляя                 это        выражение               в   формулу              (55),    получим,             что
 n                                    n

е      f (x i , y i , z i )S i =    е      f (x i , y i , j (x i , y i )) 1 + j xў2 (x i , y i ) + j yў2 (x i , y i )D s i ,
i= 1                                i= 1

где суммирование справа проводится по области Ω плоскости Оху,
являющейся проекцией на эту плоскость поверхности S (рис.15).




                                                                   Рис. 15
          При этом в правой части получена интегральная сумма для функции
двух переменных по плоской области, которая в пределе при max di ® 0
дает двойной интеграл

                      тт f (x , y, j (x , y ))           1 + (j xў(x , y ))2 + (j yў(x , y ))2dxdy .
                        W

          Таким образом, получена формула, позволяющая свести вычисление
поверхностного интеграла 1-го рода к вычислению двойного интеграла:

тт f (x , y, z )dS          =      тт f (x , y, j (x , y ))       1 + (j xў(x , y ))2 + (j yў(x , y ))2dxdy . (58)
 S                                  W



          Замечание. Уточним еще раз, что в левой части формулы (58) стоит
поверхностный интеграл, а в правой – двойной.


                                                                   43

Страницы