Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

49
одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода.
Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие
косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства
(66), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от
выбора стороны поверхности не зависит.
Пример 13
.
Рассмотрим интеграл
S
x
ydxdy xzdxdz yzdydz++
тт
, где S –
внешняя сторона верхней половины сферы x² + y² + z² = R². Так как радиус
сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в
этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п =
{, ,}
x
yz
R
RR
.
Тогда, используя формулу (66), получаем, что требуется вычислить
поверхностный интеграл 1-го рода
222
22
222 222
33
1
SD
xyzdS xy R x y
RR
xy
dxdy
Rxy Rxy
=--ґ
ґ ++ =
-- --
тт тт
2
3
3 3 sin cos 0.
00
R
xydxdy d d
D
p
jjjrr== =
тт т т
(Область D – круг с центром в начале координат радиуса R, поэтому
удобно в конце расчета перейти к полярным координатам).
9. Формула Гаусса-Остроградского
Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V,
ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в
правильную область D. 
одну возможность вычисления поверхностного интеграла 2-го рода.
Заметим, что при смене стороны поверхности меняют знак направляющие
косинусы нормали, и, соответственно, интеграл в правой части равенства
(66), который сам по себе, как поверхностный интеграл 1-го рода, от
выбора стороны поверхности не зависит.


        Пример 13.

        Рассмотрим         интеграл   тт xydxdy +   xzdxdz + yzdydz ,    где   S   –
                                       S

внешняя сторона верхней половины сферы x² + y² + z² = R². Так как радиус
сферы, проведенный в любую ее точку, можно считать нормалью к сфере в
                                                              x y z
этой точке, единичный вектор нормали можно задать в виде п = { , , } .
                                                              R R R
Тогда, используя формулу (66), получаем, что требуется вычислить
поверхностный интеграл 1-го рода
3                  3
    тт xyzdS   =       тт xy    R 2 - x2 - y2 ґ
R                  R
    S                  D

          x2           y2
ґ   1+ 2          + 2          dxdy =
      R - x2 - y2  R - x2 - y2
                 2p                 R
= 3 тт xydxdy = 3 т sin j cos j d j т r 3d r = 0.
    D             0                 0
        (Область D – круг с центром в начале координат радиуса R, поэтому
удобно в конце расчета перейти к полярным координатам).



9. Формула Гаусса-Остроградского
        Зададим    в    пространстве       замкнутую   трехмерную       область    V,
ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в
правильную область D.




                                           49

Страницы