Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

51
dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно
представить в виде:
21
(,,)cos(,) (,,)cos(,)
SS
I
Rxyz nzdS Rxyz nzdS=+=
тт тт
rr
21
(,,)cos(,) (,,)cos(,)
SS
R
xyz nzdS Rxyz nzdS=++
тт тт
rr
3
(,,)cos(,) (,,)cos(,) .
SS
R
xyz nzdS Rxyz nzdS+=
тт тт
rr
Окончательный результат можно записать так:
(,,)cos(,) .
VS
R
dxdydz R x y z n z dS
z
=
ттт тт
r
Таким же образом можно получить соотношения
(,,)cos(, ) ,
VS
P
dxdydz P x y z n x dS
x
=
ттт тт
r
(,,)cos(,) .
VS
Q
dxdydz Q x y z n y dS
y
=
ттт тт
r
Складывая эти три равенства, получаем
формулу Гаусса-
Остроградского
:
()
cos( , ) cos( , ) cos( , ) .
V
S
PQR
dxdydz
xyz
PnxQnyRnzdS
¶¶
жц
ч
з
++ =
ч
з
ч
иш
¶¶¶
=++
ттт
тт
rrr
(67)
Воспользовавшись формулой (66), задающей связь между
поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу
Гаусса-Остроградского в ином виде:
,
V
S
PQR
dxdydz Pdydz Qdxdz Rdxdy
xyz
+
¶¶
жц
ч
з
++ = + +
ч
з
ч
иш
¶¶¶
ттт тт
(68)
где запись «S
+
» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по
внешней стороне поверхности S. 
dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно
представить в виде:


                                          r                                        r
       I =       тт R (x , y, z ) cos(n , z )dS     +     тт R (x , y, z ) cos(n , z )dS       =
                  S2                                          S1

                                      r                                        r
       =   тт R (x , y, z ) cos(n , z )dS + тт R (x , y, z ) cos(n , z )dS                 +
             S2                                      S1

                               r                                               r
       + тт R (x , y , z ) cos(n , z )dS =          тт R (x , y, z ) cos(n , z )dS .
           S3                                        S

       Окончательный результат можно записать так:
                                 ¶R                                          r
                       ттт       ¶z
                                    dxdydz =       тт     R (x , y , z ) cos(n , z )dS .
                           V                        S

       Таким же образом можно получить соотношения
                               ¶P                                          r
                   ттт         ¶x
                                  dxdydz =    тт        P (x , y , z ) cos(n , x )dS ,
                       V                        S

                               ¶Q                                     r
                  ттт          ¶y
                                  dxdydz =    тт Q ( x , y , z ) cos(n  , y )dS .
                       V                       S

       Складывая                эти   три     равенства,              получаем           формулу       Гаусса-
Остроградского:
                  ж¶ P
                   ¶Q       ¶R ц
                               чdxdydz =
       ттт ззи ¶ x ¶y
                         + +   ч
                            ¶z ш
        V
                                                                                                         (67)
                    r              r               r
       = тт (P cos(n , x ) + Q cos(n , y ) + R cos(n , z ) )dS .
             S

       Воспользовавшись                   формулой                 (66),   задающей            связь    между
поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу
Гаусса-Остроградского в ином виде:
       ж¶ P            ¶Q   ¶R ц
                               ч
 ттт зиз ¶ x      +
                       ¶y
                          +    чdxdydz =
                            ¶z ш                        тт Pdydz + Qdxdz +
                                                              +
                                                                                           R dxdy ,     (68)
   V                                                      S

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по
внешней стороне поверхности S.


                                                          51

Страницы