Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
Рис. 16.
Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S
1
,
заданную уравнением z = f
1
(x, y), S
2
: z = f
2
(x, y) и S
3
– цилиндричес-кую
поверхность с образующей, параллельной оси Oz (рис.16).
Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные
функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) или, иначе говоря, вектор
{(,,); (,,); (,,)}
A
Pxyz Qxyz Rxyz=
r
и вычислим интеграл
2
1
(,)
(,)
(,,)
fxy
VDfxy
Rxyz
R
I
dxdydz dz dxdy
zz
жц
ч
з
ч
з
===
ч
з
ч
з
¶¶
ч
з
иш
ттт тт т
21
(,, (, )) (,, (, )) .
DD
R
xyfxydxdy Rxyfxydxdy=-
тт тт
Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней
нормали, тогда на S
1
cos(n, z) < 0, на S
2
cos(n, z) > 0, a на S
3
cos(n, z) = 0.
Двойные интегралы, стоящие в правой части предыду-щего равенства,
равны соответствующим поверхностным интегралам:
2
2
(,, (, )) (,,)cos(,)
DS
R
xyf xy dxdy Rxyz nzdS=
тт тт
r
,
1
1
(,, (, )) (,,)( cos(,))
DS
R
xyf xy dxdy Rxyz nz dS=-
тт тт
r
.
(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, что элементы
площади поверхности S
1
и области D связаны соотношением 
                                                Рис. 16.


          Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1,
заданную уравнением             z = f1(x, y), S2: z = f2 (x, y) и S3 – цилиндричес-кую
поверхность с образующей, параллельной оси Oz (рис.16).
          Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные
функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) или, иначе говоря, вектор
 r
A = {P (x , y , z );Q (x , y , z ); R (x , y , z )} и вычислим интеграл
                                             жf2 ( x ,y )    ц
              ¶ R (x , y , z )               зз           ¶R ч
I =   ттт          ¶z
                               dxdydz =   тт ззз т ¶ z dz ччччdxdy =
          V                                D иf1( x , y )    ш
=   тт R (x , y, f2 (x , y ))dxdy - тт R (x , y, f1(x , y ))dxdy .
      D                              D

          Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней
нормали, тогда на S1 cos(n, z) < 0, на S2 cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0.
Двойные интегралы, стоящие в правой части предыду-щего равенства,
равны соответствующим поверхностным интегралам:
                                                               r
          тт R (x , y, f2 (x , y ))dxdy = тт R (x , y, z ) cos(n , z )dS ,
                D                                S2

                                                                          r
              тт R (x , y, f1(x , y ))dxdy = тт R (x , y, z )(-       cos(n , z ))dS .
                D                                S1

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, что элементы
площади        поверхности         S1     и    области      D        связаны      соотношением
                                                50

Страницы