Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

52
Пример 14.
Вычислим поверхностный интеграл 1-го рода
22 2
( cos(,) cos(,) ( 1)cos(,))
S
x
nx y ny z nz dS+++
тт
rr r
Т
по поверхности
222
:9,0(0).Sxyz z z++= = і
Применим формулу Гаусса-Остроградского:
22 2
( cos(,) cos(,) ( 1)cos(,)) 2( ) .
S V
x
n x y n y z n z dS x y z dxdydz+++ =++
тт ттт
rr r
Т
Перейдем к сферическим координатам:
23
2
2
00 0
2( )
2 sin ( cos sin sin sin cos )
V
xyzdxdydz
dd d
p
p
j
qq r j q r j q r qr r
++ =
++ =
ттт
тт т
2
2
4
22
00
3
2 (cos sin sin sin cos sin )
4
0
dd
p
p
r
j
jq jq qqq= ЧЧ ++ =
тт
22
22
00 00
81 1 cos2 81
(cos sin ) sin 2
224
dddd
pp
pp
q
j
jj q j qq
-
=+ + =
тт тт
()
22
2
81 1 81 1
(sin cos ) 1 sin 2 2 cos 2
4242
00 0
pp
p
jj q p q=- - -ЧЧ =
81 81
(1 1) .
42
p
p=- - - =
10. Формула Стокса
Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная
оси Оz, пересекает ее не более чем в одной точке. Обозначим границу 
           Пример 14.
    Вычислим поверхностный интеграл 1-го рода
           r                 r                       r
Т (x 2 cos(n , x ) + y 2 cos(n , y ) + (z 2 + 1) cos(n , z ))dS
тт                                                                                    по поверхности
 S

           S : x 2 + y 2 + z 2 = 9, z = 0 (z і 0).
    Применим формулу Гаусса-Остроградского:
           r                 r                       r
Т (x 2 cos(n , x ) + y 2 cos(n , y ) + (z 2 + 1) cos(n , z ))dS =
тт                                                                                    ттт 2(x +    y + z )dxdydz .
 S                                                                                     V


           Перейдем к сферическим координатам:

ттт 2(x +              y + z )dxdydz =
    V
            p
 2p         2                3
2т dj       т sin qd q т (r cos j           sin q + r sin j sin q + r cos q)r 2d r =
    0          0             0
                                 p
                   3    2p       2
    r4
= 2Ч                   Чт d j    т (cos j   sin 2 q + sin j sin 2 q + cos q sin q)d q =
     4
                         0       0
                   0
                                            p                                     p
           2p                               2                               2p    2
        81                                       1 - cos 2q      81
        2 т                                 т                    4 т             т sin 2qd q =
=           (cos j + sin j )d j                             dq +     dj
                                                     2
           0                                0                                0    0

                                     2p                          p                         p
                                                                 2                         2
=
        81
        4
           (sin j - cos j )               (1 -    1
                                                  2
                                                    sin 2q   )       -
                                                                         81
                                                                         4
                                                                                 1
                                                                            Ч2p Ч cos 2q
                                                                                 2
                                                                                               =
                                     0                           0                         0

          81               81
= -          p (- 1 - 1) =    p.
          4                2



10. Формула Стокса
           Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная
оси Оz, пересекает ее не более чем в одной точке. Обозначим границу
                                                             52

Страницы