Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

54
Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек
линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.17). Поэтому,
используя формулу (46), получаем:
( , , )Pxyzdx
l
т
С
=(,,(,))
L
Pxyfxy dx
т
С
.
Обозначим P
(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к
интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу
Грина:
(,,(,))
(,, (, )) ,
DL
Pxyfxy
dxdy P x y f x y dx
y
-=
тт т
С
где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное
выражение, используя формулу производной сложной функции:
(,,(,)) (,,) (,,) (,)Pxyfxy Pxyz Pxyz fxy
yyzy
¶¶
=+
¶¶
и подставим его в предыдущее равенство:
(,,) (,,) (, )
D
Pxyz Pxyz fxy
dxdy
yzy
涶ц
ч
з
-+ =
ч
з
ч
з
иш
¶¶
тт
(,,(,))
L
Pxyfxy dx
т
С
.
Тогда
( , , )Pxyzdx
l
т
С
= .
DD
PPf
dxdy dxdy
yzy
¶¶
--
¶¶
тт тт
Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (64) и
перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхности σ:
cos( , ) ,
D
PP
dxdy n z d
yy
s
s
=
¶¶
тт тт
r
cos( , ) cos( , ) ,
D
Pf Pf P
dxdy n z d n y d
zy zy z
s
s
s
s
¶¶
==-
¶¶ ¶¶
тт тт тт
rr
так как
cos( , )
cos( , )
ny
nz y
=-
r
r
. Следовательно, окончательный результат
преобразований выглядит так: 
         Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек
линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.17). Поэтому,
используя формулу (46), получаем:

                                 тСP (x , y, z )dx = тСP (x , y, f (x , y ))dx .
                                 l                     L

         Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к
интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу
Грина:
                                  ¶ P (x , y , f (x , y ))
                        -   тт             ¶y
                                                          dxdy =    тСP (x , y, f (x , y ))dx ,
                            D                                       L

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное
выражение, используя формулу производной сложной функции:
                  ¶ P (x , y , f (x , y ))   ¶ P (x , y , z ) ¶ P (x , y , z ) ¶ f (x , y )
                                           =                 +
                           ¶y                     ¶y               ¶z              ¶y
и           подставим                     его          в            предыдущее                    равенство:
        ж¶ P (x , y , z ) ¶ P (x , y , z ) ¶ f (x , y ) ц
                                                        чdxdy =
-   тт зи ¶ y + ¶ z
        з
                                               ¶y ш     ч               тСP (x , y, f (x , y ))dx .
     D                                                                  L

         Тогда
                                                ¶P                  ¶P ¶f
             тСP (x , y, z )dx = -       тт     ¶y
                                                   dxdy -    тт     ¶z ¶y
                                                                          dxdy .
              l                           D                     D

         Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (64) и
перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхности σ:
                  ¶P                      ¶P     r
           тт     ¶y
                     dxdy =          тт   ¶y
                                             cos(n , z )d s ,
            D                        s

                  ¶P ¶f                         ¶P ¶f     r                           ¶P     r
           тт     ¶z ¶y
                        dxdy =            тт    ¶z ¶y
                                                      cos(n , z )d s = -        тт    ¶z
                                                                                         cos(n , y )d s ,
            D                             s                                       s
                      r
                  cos(n , y )     ¶f
так как               r       = -    . Следовательно, окончательный результат
                  cos(n , z )     ¶y
преобразований выглядит так:

                                                       54

Страницы