Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 55 стр.

                               ж¶ P         r         ¶P     r ц
      тСP (x , y, z )dx = тт ззи ¶ z cos(n , y ) -    ¶y
                                                         cos(n , z ) ч
                                                                     чd s .
                                                                     ш
         l                 s

     При       этом       направление             обхода       контура             λ       выбирается
соответствующим положительному направлению нормали (рис.17).
     Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции
Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотноше-ния:

      тСQ (x , y, z )dx = тт
         l                 s
                               (   ¶Q
                                   ¶x
                                          r
                                      cos(n , z ) -
                                                    ¶Q
                                                    ¶z
                                                           r
                                                       cos(n , x ) d s ,)
                               ж¶ R         r         ¶R     r ц
      тСR (x , y, z )dx = тт зиз ¶ y cos(n , x ) -    ¶x
                                                                     чd s .
                                                         cos(n , y ) ч
                                                                     ш
         l                 s

     Складывая левые и правые части полученных равенств, получим
формулу      Стокса,       устанавливающую               связь     между           поверхностным
интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го
рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:

тСPdx + Qdy +
l
                               йж¶ R
                     R dz = тт кзз
                               ки ¶ y
                             s л
                                      -
                                         ¶Q ц
                                         ¶z шч
                                                    r
                                                              ¶z    (
                                                                    ¶x
                                                                           r
                                             чcos(n , x ) + ¶ P - ¶ R cos(n , y ) +    )
                                           r             r         r
                                       cos(n , x ) cos(n , y ) cos(n , z )
   ж¶ Q ¶ P    ц    r                            ¶           ¶                ¶
+ зз   -       чcos(n , z ) щ
               ч            ъd s =    тт                                               ds .      (69)
  и¶x    ¶y    ш            ъ
                            ы                    ¶x          ¶y               ¶z
                                        s
                                                 P           Q                R

     Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное
выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить,
раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его
строке       стоят      операторы               частного       дифференцирования                  по
соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в
третьей строке.
     Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го
рода (формула (66)), можно записать формулу Стокса в ином виде:




                                                 55