Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
()
Pdx Qdy Rdz
RQ PR QP
dydz dxdz dxdy
yz zx xy
l
s
+
++=
¶¶ ¶¶
жц жц
чч
зз
-+-+-
чч
зз
чч
иш иш
¶¶ ¶¶
т
тт
С
(70)
Пример 15
.
Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
32
(3 ) (2 )
x
ydx x ydy zdz
l
++--
т
С
по контуру
22
:0, 1, 0(0)zxy yyl =+==і при положительном
направлении обхода контура.
Вычислим
2
32
cos( , ) cos( , ) cos( , )
0cos(,) 0cos(,) (4 3 )1
32
nx ny nz
nx ny x y
xyz
xy x y z
¶¶
= Ч + Ч +- Ч
¶¶¶
+--
rrr
rr
.
Выберем в качестве поверхности, натянутой на контур λ, часть
плоскости Оху, ограниченную этим контуром, и применим формулу
Стокса:
2
10
32 2
1
1
(3 ) (2 ) (4 3 )
x
x
y dx x y dy zdz dx x y dy
l -
-
++--= - =
ттт
С
         тСPdx + Qdy +        R dz =
         l
                                                                                         (70)

         s
               ж¶ R    ¶Q ц
                           ч       ¶z  (
                           чdydz + ¶ P - ¶ R dxdz + ж
         тт+ ззи ¶ y - ¶ z ш             ¶x
                                                    зз
                                                    и¶x)
                                                       ¶Q ¶P
                                                         -
                                                           ¶y
                                                                                 ц
                                                                                 чdxdy
                                                                                 ч
                                                                                 ш


       Пример 15.
       Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

                          тС(3x +   y 3 )dx + (2x 2 - y )dy - zdz
                          l

по контуру l : z = 0, x 2 + y 2 = 1, y = 0 (y і 0) при положительном
направлении обхода контура.




Вычислим
     r           r           r
 cos(n , x ) cos(n , y ) cos(n , z )
    ¶             ¶            ¶                r                r
                                       = 0 Чcos(n , x ) + 0 Чcos(n , y ) + (4x - 3y 2 ) Ч1 .
    ¶x            ¶y           ¶z
 3x + y 3      2x 2 - y        -z

       Выберем в качестве поверхности, натянутой на контур λ, часть
плоскости Оху, ограниченную этим контуром, и применим формулу
Стокса:
                                                   1        0

тС(3x +      y 3 )dx + (2x 2 - y )dy - zdz =    т dx т              (4x - 3y 2 )dy =
l                                               - 1        1- x 2




                                              56

Страницы