Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

58
III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ, КРИВОЛИНЕЙНЫХ И
ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Двойной интеграл
1. Площадь плоской области
Из формулы (1) следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной
суммы
1
n
i
i
S
=
D
е
при 0r ® равен площади области интегрирования S, то
есть
.
S
dxdy S=
тт
(71)
Пример 16
.
Найти площадь области, ограниченной линиями у = 16 – х
2
, у = -9.
Для определения пределов интегрирования приравняем правые части
уравнений, задающих границы области:
22
16 9, 25, 5.xxx-=- = =± Тогда
()
2
516 5
2
59 5
3
(.).
16 ( 9)
5
125 125 500
25 125 125
3333
5
x
Sdxdy x dx
x
x
-
-- -
==---=
жц
ч
з
=- =-+-=
ч
з
ч
з
иш
-
тт т
куб ед
        III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
 ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ, КРИВОЛИНЕЙНЫХ И
                       ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Двойной интеграл
       1.                 Площадь плоской области
       Из формулы (1) следует, что при f(x,y) ≡ 0 предел интегральной
             n
суммы       е      D S i при r ® 0 равен площади области интегрирования S, то
            i= 1

есть

                                                тт dxdy =   S.          (71)
                                                S



       Пример 16.
       Найти площадь области, ограниченной линиями у = 16 – х2, у = -9.




       Для определения пределов интегрирования приравняем правые части
уравнений, задающих границы области:
       16 - x 2 = - 9, x 2 = 25, x = ± 5. Тогда
                   5     16- x 2          5
       S =         т dx т          dy =   т (16 -   x 2 - (- 9) )dx =
                   - 5    - 9             - 5

                    3ц
                        5
          ж       x  ч             125         125   500
       = зз 25x -    ч
                     ч     = 125 -     + 125 -     =     ( куб.ед).
          зи       3 ш              3           3     3
                       - 5

                                                      58

Страницы