Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 59 стр.

      2.          Объем цилиндроида
      Рассмотрим тело, ограниченное частью поверхности S: z = f(x,y) ,
ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость
Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку
контура L с соответствующей точкой плоскости Оху. Такое тело будем
называть цилиндроидом. Тогда из формул (1) и (2) получим, что объем
этого тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по проекции D
области S на координатную плоскость Оху:

                      V =   тт f (x , y )dxdy .                                (72)
                             D



      Пример 17.
      Найти       объем    цилиндроида,           ограниченного         поверхностью

z =   9 - x 2 - y 2 , цилиндром x2 + y2 = 4 и частью координатной плос-
кости Оху.




      Проекцией D поверхности S: z =               9 - x 2 - y 2 на координатную
плос-кость Оху является круг x2 + y2 = 4. Применим формулу (72):
                                        2         4- x 2
      V =    тт   9 - x 2 - y 2dxdy =   т dx т             9 - x 2 - y 2dy .
              D                         - 2   -   4- x 2

      Перейдем к полярным координатам:

                                        59