Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
()
22 2
1
2222
2
00 0
2
1
929(9)(9)
2
0
Vd d d
p
jrrr pr rpr=-=-Ч --=--=
тт т
33
22
59 (2755)(.).pp=- - = -
жц
ч
з
ч
з
ч
ч
з
иш
куб ед
3.
Площадь криволинейной поверхности
Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной
уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз, что
площадь элемента поверхности ΔS
i
равна
22
1(,)(,)
cos
i
ixiiyiii
D
SffDxh xh
g
D
ўў
D= = + + D,
где ΔD
i
– проекция ΔS
i
на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и
нормалью к ΔS
i
в некоторой ее точке (, ).
ii i
M
x
h Составив интегральную
сумму
22
11
1(,)(,)
nn
ixiiyiii
ii
SffDxh xh
==
ўў
D= + + D
ее
и устремив ее к пределу при 0r ®, получим формулу для площади
поверхности:
22
1.
xy
D
Sffdxdy
ўў
=++
тт
(73)
Пример 18
.
Найти площадь верхней поверхности цилиндроида из примера 15.
Эта поверхность представляет собой часть сферы х
2
+ у
2
+ z
2
= 9,
вырезанную цилиндром x
2
+ y
2
= 4.
Найдем частные производные функции
22
9zxy=--
по х и у:
22 22
,
99
xy
x
y
zz
x
yxy
ўў
=- =-
-- --
.
Применим формулу (73): 
      2p   2                                21
                                                                                          2
                              1
V =   т dj т   9 - r r d r = - Ч2p т (9 - r ) d (9 - r 2 ) = - p (9 - r 2 )
                    2                      2 2
                                                                                              =
                              2
      0    0                                0
                                                                                          0
      ж3    3
              ц
= - p з5 - 9 ч
      з  2  2
              ч = p (27 - 5 5)( куб.ед).
              ч
      зи      ш


      3.         Площадь криволинейной поверхности
      Вычислим площадь части криволинейной поверхности S, заданной
уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L. Вспомним еще раз, что
площадь элемента поверхности ΔSi равна
                               D Di
                  D Si =             =   1 + fxў2 ( xi , hi ) + fyў2 ( xi , hi )D Di ,
                               cos g
где ΔDi – проекция ΔSi на плоскость Оху, γ – угол между осью Оz и
нормалью к ΔSi в некоторой ее точке M i ( xi , hi ). Составив интегральную
сумму
                   n               n

                  е      DSi =    е      1 + fxў2 ( xi , hi ) + fyў2 ( xi , hi )D Di
                  i= 1            i= 1

и устремив ее к пределу при r ® 0 , получим формулу для площади
поверхности:

                 S =      тт     1 + fxў2 + fyў2dxdy .                                   (73)
                          D



      Пример 18.
      Найти площадь верхней поверхности цилиндроида из примера 15.
      Эта поверхность представляет собой часть сферы х2 + у2 + z2 = 9,
вырезанную цилиндром x2 + y2 = 4.

      Найдем частные производные функции z =                        9 - x 2 - y 2 по х и у:
                                  x                                y
               z xў = -                     , z yў = -                         .
                              9 - x2 - y2                    9 - x2 - y2
      Применим формулу (73):

                                             60

Страницы