Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

62
Найдем момент инерции фигуры D (рис.18) относительно начала
координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем
область D на части ΔS
i
(i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку
P
i
(ξ
i
, η
i
). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔS
i
выражение вида ΔI
i
= (ξ
i
² + η
i
²)ΔS
i
и составим интегральную сумму
22
1
()
n
iii
i
Sxh
=
+D
е
(74)
для функции ρ
2
(x, y) = x² + y² (квадрата расстояния от любой текущей
точки Р(х,у) до начала координат) по области D.
Определение 15. Предел интегральной суммы (74) при стремлении
максимального диаметра d элементарной подобласти к нулю (0d ®)
называется
моментом инерции фигуры D относительно начала
координат
:
22 22
0
0
1
lim ( ) ( ) .
n
iii
d
i
D
I
Sxydxdyxh
®
=
=+D=+
е
тт
(75)
Определение 16. Интегралы
22
,
xx yy
DD
I
ydxdy I xdxdy==
тт тт
(76)
называются
моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.
Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является
некоторой функцией γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно
начала координат вычисляется по формуле
22
0
(, )( ) .
D
I
xy x y dxdyg=+
тт
(77) 
     Найдем момент инерции фигуры D (рис.18) относительно начала
координат, считая, что плотность в каждой точке равна 1. Разобьем
область D на части ΔSi (i = 1, 2,… n) и выберем в каждой части точку
Pi (ξi, ηi). Назовем элементарным моментом инерции площадки ΔSi
выражение вида ΔIi = (ξi² + ηi²)ΔSi и составим интегральную сумму
                               n

                           е       ( xi2 + hi2 )D S i                                          (74)
                           i= 1

для функции ρ2(x, y) = x² + y² (квадрата расстояния от любой текущей
точки Р(х,у) до начала координат) по области D.


     Определение 15. Предел интегральной суммы (74) при стремлении
максимального диаметра d элементарной подобласти к нулю ( d ® 0 )
называется моментом инерции фигуры D относительно начала
координат:
                           n
             I 0 = lim е ( xi2 + hi2 )D S i =           тт (x 2 +         y 2 )dxdy .          (75)
                   d® 0
                          i= 1                           D



     Определение 16. Интегралы

                               I xx =    тт y 2dxdy,     I yy =   тт x 2dxdy                   (76)
                                          D                           D

называются моментами инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу.


     Замечание. Если поверхностная плотность не равна 1, а является
некоторой функцией γ = γ(х, у), то момент инерции фигуры относительно
начала координат вычисляется по формуле

                     I0 =          тт g(x , y )(x 2 +   y 2 )dxdy .                     (77)
                                    D




                                                 62

Страницы