Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

64
Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью,
равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем
считать теперь, что вся масса элементарной площадки Δ
S
i
сосредоточена в
какой-либо ее точке
P
i
(ξ
i
, η
i
). Тогда фигуру D можно рассматривать как
систему материальных точек, центр масс которой определяется
равенствами
11
11
,
nn
ii ii
ii
cc
nn
ii
ii
SS
xy
SS
xh
==
==
DD
»»
DD
ее
ее
.
Переходя к пределу при 0
r ®, получим точные формулы для
координат центра масс плоской фигуры:
,
y
x
DD
cc
DD
xdxdy ydxdy
M
M
xy
M
M
dxdy dxdy
====
тт тт
тт тт
. (78)
В случае переменной поверхностной плотности
γ = γ (х, у) эти
формулы примут вид
(, ) (, )
,
(, ) (, )
y
x
DD
cc
DD
x y xdxdy x y ydxdy
M
M
xy
M
M
x y dxdy x y dxdy
gg
gg
====
тт тт
тт тт
. (79)
Пример 20
.
Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса 2 с
центром в начале координат и центральным углом 60
о
, если γ(х, у) = 1. 
     Если разбить плоскую фигуру D с поверхностной плотностью,
равной 1, на части, то масса каждой части будет равна ее площади. Будем
считать теперь, что вся масса элементарной площадки ΔSi сосредоточена в
какой-либо ее точке Pi (ξi, ηi). Тогда фигуру D можно рассматривать как
систему   материальных        точек,          центр      масс            которой              определяется
равенствами
                                   n                             n

                                  е      xi D S i             е       hi D S i
                                  i= 1                        i= 1
                           xc »     n               , yc »      n                  .
                                   е      D Si                   е      D Si
                                   i= 1                          i= 1

     Переходя к пределу при r ® 0 , получим точные формулы для
координат центра масс плоской фигуры:

                     тт xdxdy My
                                                         тт ydxdy                      Mx
               xc = D       =    , yc =                      D
                                                                               =          .          (78)
                              M                                                        M
                    тт dxdy                                  тт dxdy
                       D                                     D

     В случае переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у) эти
формулы примут вид

              тт g(x , y )xdxdy     My
                                                        тт g(x , y )ydxdy                     Mx
               D                                         D
       xc =                       =    , yc =                                            =       .   (79)
                                    M                                                         M
              тт   g (x , y )dxdy                        тт          g (x , y )dxdy
               D                                             D



     Пример 20.
     Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса 2 с
центром в начале координат и центральным углом 60о, если γ(х, у) = 1.




                                               64

Страницы