Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

65
Найдем
М, М
х
и М
у
в полярных координатах, учитывая, что область
интегрирования симметрична относительно оси
Ох.
2
6
2
00
2
2
22 ;
62 3
0
D
Mdxdydd
p
p
rp
jrr
== =ЧЧ =
тт т т
22
66
2
00
66
sin sin
x
D
Mydxdyd d dd
pp
pp
j
rjrr jjrr
--
== Ч ==
тт т т т т
()
()
6
3
6
2
8
cos cos cos 0;
336 6
0
p
p
rpp
j=- Ч =- - - =
-
22
66
2
00 0 0
6
3
2 cos 2 cos
2
4
2sin .
33
00
y
D
Mxdxdyd d dd
pp
p
j
rjrr jjrr
r
j
== Ч ==
= Ч =
тт т т т т
Применим формулы (78):
42 2
:; 0.
33
y
x
CC
M
M
xy
M
M
p
p
== = == 
     Найдем М, Мх и Му в полярных координатах, учитывая, что область
интегрирования симметрична относительно оси Ох.
                                         p
                                         6               2                           2
                                                                      p r2                       2p
     M =    тт dxdy = 2т dj                              т   rdr = 2 Ч Ч
                                                                      6 2
                                                                                             =
                                                                                                  3
                                                                                                    ;
            D                            0               0
                                                                                     0
                                                 p                                       p
                                                 6           2                           6              2
     Mx =   тт ydxdy = тp dj т r sin j                                    Чr d r =   тp sin j dj т r 2d r          =
                 D                           -               0                       -                  0
                                                 6                                       6

                         p               2
                         6
                                  r3                         8    p        p
     = - cos j                   Ч
                                   3
                                                 = -
                                                             3   (
                                                               cos - cos -
                                                                  6        6   ( )) = 0;
                     -       p           0
                             6

                                                 p                                           p
                                                 6           2                               6              2
     My =   тт xdxdy = 2т dj т r cos j                                     Чr d r = 2 т cos j d j           т r 2d r   =
                 D                                   0       0                               0              0
                     p               2
                     6           3
                          r                      4
     = 2 sin j           Ч               =         .
                           3                     3
                     0               0

     Применим формулы (78):
            My  4 2p  2       Mx
     xC =      = :   = ; yC =    = 0.
            M   3 3   p       M




                                                                     65

Страницы