Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

63
Пример 19.
Вычислить момент инерции плоской пластины с поверхностной
плотностью γ(х, у) = 3ху, имеющей форму треугольника, ограниченного
отрезками прямых х + у =3, х = 3, у = 3, относительно оси Ох.
у
х
Применим формулу (76):
33 3 3
223
03 0 3
(, ) 3 3
xx
Dxx
I
x y y dxdy dx xy y dy xdx y dyg
--
==Ч ==
тт т т т т
()
3
52
4
0
33
776
54 5
00
766
7
3
4
0
3
33
(3 3)(3 )
84
0
33
33 3 33(3) 3
(3 ) 3 (3 ) (3 )
84 4 84 6 5
00
3333 111
3801,9.
846 5 82024
3
3
4
3
x
xxdx
x
xdx xdx x
xy dx
x
Ч
+--- =
-
=+ - -Ч -=+ -- =
--+ = - + =
= Ч =
-
жц
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
з
ч
ч
з
иш
жц
ч
з
ч
з
ч
з
иш
т
тт
т
5.
Координаты центра масс плоской фигуры
Как известно, координаты центра масс системы материальных точек
P
1
, P
2
,…, P
n
с массами т
1
, т
2
,…, т
п
определяются по формулам
,
ii ii
cc
ii
x
mym
xy
mm
==
ее
ее
. 
         Пример 19.
         Вычислить момент инерции плоской пластины с поверхностной
плотностью γ(х, у) = 3ху, имеющей форму треугольника, ограниченного
отрезками прямых х + у =3, х = 3, у = 3, относительно оси Ох.
                 у




                                                    х


         Применим формулу (76):
                                     3       3                      3      3
I xx =      тт g(x , y )y 2dxdy = т dx т          3xy Чy 2dy = 3 т xdx     т     y 3dy =
             D                       0     3- x                     0     3- x


        3             3                      3          3
 3                               35 Чx 2          3
= т x Чy 4                  dx =                 + т (3 - x - 3)(3 - x )4 dx =
 4                                  8             4
        0                                    0          0
                     3- x
                                                ж           3              3ц
                                                                            ч
    7            3                       3      зз        6    7            ч
  3  3                   3                3  3 з (3 - x )       3           ч
=               5                   4
    + т (3 - x ) dx - 3 Ч т (3 - x ) dx =   + з               - (3 - x ) 5  ч
                                                                            ч =
  8  4                   4                8  4 зз    6          5           ч
                                                                            ч
       0                   0                     зи         0               ч
                                                                           0ш
37   3 ж 36   36 ц
8
   - зз -
     4и 6
            +
              5ш
                 ч
                 ч
                 ч = 37
                        1
                          -
                            1
                              +
                        8 20 24
                                1
                                 (= 801, 9.             )
         5.            Координаты центра масс плоской фигуры
         Как известно, координаты центра масс системы материальных точек
P1, P2,…, Pn с массами т1, т2,…, тп определяются по формулам

                                     xc =
                                                 е xim i ,   yc =
                                                                    е yi m i .
                                                  е mi               е mi
                                                     63

Страницы