Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 67 стр.

                                                                   5 2
                                       2       1+ 1- x 2             - x            2                    1+ 1- x 2
                                                                   4

                                                                                    т (4 -        )
                                                                                            5
V =         ттт dxdydz = т dx т                               dy    т      dz =                 x 2 dx        т        dy .
                V                      0       1-    1- x 2         0               0                    1-   1- x 2

            Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам, в
которых уравнение окружности х2+ у2 = 2у преобразуется к виду:
            r 2 cos2 j + r 2 sin 2 j = 2r sin j Ю r = 2 sin j ,
а угол φ меняется от 0 до π:
                                                            ж                  2 sin j                             ц
                                                                                                                   ч
            p       2 sin j                                 зз    2   p
                                                                      4                                            ч
                                                                                                                   ч
V =         т dj т
            0           0
                              (   5
                                  4                   )      з5 r
                                    - r 2 cos2 j r d r = т зз Ч -
                                                           з4 2
                                                         0 з
                                                                    r
                                                                     4
                                                                        cos2 j                                     чd j =
                                                                                                                   ч
                                                                                                                   ч
                                                                                                                   ч
                                                                                                                   ч
                                                           зи                     0                                ч
                                                                                                                   ш
    p                                                                      p

    т(                                                  )
            5 2                             5
=             sin j - 4 sin 4 j cos2 j d j = т (1 - cos 2j )d j -
            2                               4
    0                                                                      0

        p                                                                               p
 1
- т sin 2 2j (1 - cos 2j )d j =
 2
        0
                                5
                                4
                                      1
                                  j - sin 2j
                                      2                     (                       )       -
                                                                                        0
        p                                      p
 1                    1
- т (1 - cos 4j )d j + т sin 2 2j d sin 2j =
 4                    4
        0                                      0

                                               p                           p
=
  5p 1
   4
     -
       4
             1
         j - sin 4j
             4      (                      )        +
                                                       1
                                                      12
                                                         sin 3 2j               =
                                                                                    5p p
                                                                                     4
                                                                                       -
                                                                                         4
                                                                                           = p.
                                               0                            0


            2.                                  Масса тела
            Если γ = γ (x, y, z) – функция, задающая плотность вещества, из
которого состоит тело V, то масса тела выражается формулой

                                               M =        ттт g(x , y, z )dxdydz .                                     (81)
                                                              V



            3.                                  Момент инерции тела
            Используя формулы для моментов инерции точки М (x, y, z) массы т
относительно координатных осей:
                                                                    67