Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 69 стр.

плоскости при z = 0. Соответственно проекцией всей пирамиды на
плоскость Оху является                                                      треугольник, стороны которого задаются
уравнениями x = 0,
                                                     2
              y = 0, y = 2 -                           x . Воспользуемся формулой (83):
                                                     3
                               2
I0 =          ттт (x               + y 2 + z 2 ) g (x , y , z )dxdydz =
                V
                        2               4
      3         2-        x        4-     x - 2y
                        3               3
=   т dx т                    dy            т        (x 2 + y 2 + z 2 )dz =
      0           0                         0
                   2
      3         2- x
                   3                                                                                                         3
                              ж 2
=   т dx
      0       0
                    т          и
                                                4
                                                3    (
                              зз (x + y 2 ) 4 - x - 2y +
                                                         1
                                                         3
                                                               4
                                                           4 - x - 2y
                                                               3                      ) (                                   ) цшччdy =
             2                                                              2                                         2
          ж2- x                                                        2-     x                                2-       x
3         з 3
          з                                                                 3                                         3

т dx зззз т                 (4x    2
                                        -
                                                4 3
                                                3     )
                                                  x dy +                   т      (4 -        4
                                                                                              3    )
                                                                                                x y 2dy - 2       т         y 3dy -
0         зи       0                                                        0                                       0

          2                                                    2
    2-      x                                             2-     x                                                                    ц
                                                                                                                                      ч
          3                                                    3                                       3                              ч
- 2       т
                        1
                x 2ydy + Ч -
                        3
                             1
                             2                  ( )т (                         4
                                                                           4 - x - 2y
                                                                               3                   ) (           4
                                                                                                           d 4 - x - 2y
                                                                                                                 3                   )ч
                                                                                                                                      ч
                                                                                                                                      ч
                                                                                                                                      ч
                                                                                                                                      ч
                                                                                                                                        =
          0                                                    0                                                                      ч
                                                                                                                                      ш
      3
                                                                                                                    3                       4

    т ((                                        )(                 ) (                             )(             )              (          )-
                     4                              2   1    4                                            2               1    2
=               4x - x 32
                                                 2- x +   4- x                                         2- x             -   2- x
                     3                              3   3    3                                            3               2    3
      0
                                                                       4
         2
- x (2 - x )2 +
    2
         3
                 1
                24
                      4
                   4- x
                      3                          (                   ) цччшdx =
      3                                                                           3
                                                                                                           4

    т(                                                    )                           (                ) d (1 -             )
                   8    4                  1                                                                          1
=             4x - x 3 + x 4 dx - 40 т 1 - x
                    2
                                                                                                                        x =
                   3    9                  3                                                                          3
      0                                                                           0

                                                                                               3
                                                                                          5
  й4                                                                                          щ
  кл3
         2
= к x3 - x4 +
         3
              4 5
              45
                          1
                 x - 8 1- x
                          3                                        (                  )       ъ = 36 - 54 +
                                                                                              ъ
                                                                                              ы
                                                                                                            108
                                                                                                             5
                                                                                                                + 8=
                                                                                                                     58
                                                                                                                      5
                                                                                                                        .
                                                                                               0



              4.                                                   Координаты центра масс тела
              Формулы для координат центра масс тела тоже задаются аналогично
случаю плоской фигуры:


                                                                                              69