Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

71
( , , ) .
l
M
xyzdsg=
т
(86)
Пример 23
.
Найти массу кривой с линейной плотностью
singj=
, заданной в
полярных координатах уравнением
3(1 cos ) , 0 .
2
p
rjj=+ ЈЈ
Используем формулу (86):
2
22
0
2
22
0
1
22
2
00
sin sin ( ( ))
3 sin (1 cos ) ( sin )
32sin 1cos 32(1cos)(1cos)
l
Mdl d
d
dd
p
p
pp
jjrrjj
jj jj
jjj j j
ў
== + =
++- =
=+=-++=
тт
т
тт
2
33
22
2
3 2 (1 cos ) 2 2(1 2 ) 2(4 2).
3
0
p
j=- Ч +=--=-
3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае
плоской
области:
( , ) , ( , , )
xy
ll
M
yxydsM xxyzdsgg==
тт
- (87)
-
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и
Оу;
222
0
()
l
I
xyzds=++
т
- (88)
-
момент инерции пространственной кривой относительно
начала координат; 
                                         M =       т g(x , y, z )ds.                                    (86)
                                                   l



      Пример 23.
      Найти массу кривой с линейной плотностью g = sin j , заданной в
                                                                                                p
полярных координатах уравнением r = 3(1 + cos j ), 0 Ј j Ј                                        .
                                                                                                2
      Используем формулу (86):
                                   p
                                   2
      M =      т sin j dl = т sin j              r 2 + ( r ў(j ))2d j =
               l                   0
           p
           2
      3 т sin j        (1 + cos j )2 + (- sin j )2d j =
           0
                   p                                            p
                   2                                            2                 1
      = 3 2 т sin j           1 + cos j d j = - 3 2 т (1 + cos j                 ) d (1
                                                                                  2       + cos j ) =
                   0                                            0

                                          p
                                        3 2                          3
               2
      = - 3 2 Ч (1 + cos j             )2        = - 2 2(1 -        2 )
                                                                     2    = 2(4 -         2).
               3
                                             0

      3.       Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае
плоской
      области:

                       Mx =   т y g(x , y )ds, M y      =   т x g(x , y, z )ds    -                     (87)
                              l                             l

      -        статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и
Оу;

                                  I0 =   т (x 2 +      y 2 + z 2 )ds -                                  (88)
                                         l

      -        момент инерции пространственной кривой относительно
начала координат;



                                                       71

Страницы