Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

72
22 22 22
(), (), ()
xyz
lll
I
yzdsI xzdsI xyds=+ =+ =+
ттт
(89)
-
моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4. Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
(,,) (,,) (,,)
,,
lll
ccc
x
xyzds y xyzds z xyzds
xyz
M
MM
ggg
===
ттт
. (90)
Криволинейный интеграл 2-го рода
Если считать, что сила
{, , }FPQR=
r
действует на точку,
движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть
представлена как
() ()AB AB
Pdx Qdy Rdz F dr++= Ч
тт
r
r
, (91)
то есть криволинейным интегралом 2-го рода.
Пример 24
.
Вычислить работу силы
22 2
{4 ; ; }Fxyxzxyz=++
r
, действующей
на точку, движущуюся по прямой от точки А(2; 1; 0) до точки В(-3; 2; 1).
Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:
25
1,0 1.
0
xt
ytt
zt
м
п
=-
п
п
п
=+ ЈЈ
н
п
п
п
=+
п
о
При этом dx = -5dt, dy = dt, dz = dt.
Работа
222
() ()
4()()
AB AB
A
Pdx Qdy Rdz x ydx x z dy x yz dz=++= ++++=
тт
            Ix =       т (y 2 +   z 2 )ds, I y =     т (x 2 +   z 2 )ds, I z =      т (x 2 +   y 2 )ds       (89)
                       l                             l                               l

       -         моменты инерции кривой относительно координатных осей.


       4.        Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

                   т x g(x , y, z )ds              т y g(x , y, z )ds               т z g(x , y, z )ds
                   l                                 l                               l
        xc =                            , yc =                             , zc =                        .   (90)
                           M                                M                              M



Криволинейный интеграл 2-го рода
                               r
    Если считать, что сила F = {P ,Q , R }                                          действует на точку,
движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть
представлена как
                                                                           r r
                             т       Pdx + Qdy + R dz =            т       F Чdr ,                           (91)
                            (A B )                                (A B )

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.


       Пример 24.
                             r
       Вычислить работу силы F = {4x 2y ; x 2 + z 2 ; x + yz } , действующей
на точку, движущуюся по прямой от точки А(2; 1; 0) до точки В(-3; 2; 1).
       Параметрические                   уравнения              прямой              АВ       имеют           вид:
м
п x = 2 - 5t
п
п
п y = 1 + t , 0 Ј t Ј 1. При этом dx = -5dt, dy = dt, dz = dt.
н
п
п
п
пz = 0+ t
о
       Работа

A =    т       Pdx + Qdy + R dz =                т       4x 2ydx + (x 2 + z 2 )dy + (x + yz )dz =
      (A B )                                  (A B )




                                                           72

Страницы