Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

74
Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром
в начале координат, вырезанную плоскостью
3z =. Найдем проекцию
этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения
сферы и плоскости
3z = является окружность
22 2
(3) 4xy++ =, то
есть х
2
+ у
2
= 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является
круг единичного радиуса с центром в начале координат.
Вычислим массу поверхности в полярных координатах:
21
22 2
00
1
1
22
2
0
2
22 22
44
22 (4 ) (4 )
1
22 24 42(3 2) 42(2 3).
0
dxdy d
Md
xy
d
p
rr
j
r
pr r
pr p p
W
-
===
-- -
=- Ч --=
=- Ч -=- -= -
тт т т
т
3)
Моменты:
(,,) , ,
xy xz yz
SSS
M
z x y z dS M y dS M x dSggg===
тт тт тт
- (94)
-
статические моменты поверхности относительно
координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;
22
22
22
()(,,),
()(,,),
()(,,)
x
S
y
S
z
S
I
yzxyzdS
I
xzxyzdS
I
xyxyzdS
g
g
g
=+
=+
=+
тт
тт
тт
(95)
-
моменты инерции поверхности относительно координатных
осей;
222
(,,) , ,
xy xz yz
SSS
I
z x y z dS I y dS I x dSggg===
тт тт тт
- (96) 
        Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром
в начале координат, вырезанную плоскостью z =                                                3 . Найдем проекцию
этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения
сферы и плоскости z =                         3 является окружность x 2 + y 2 + ( 3)2 = 4 , то
есть х2 + у2 = 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является
круг единичного радиуса с центром в начале координат.
        Вычислим массу поверхности в полярных координатах:
                                                                              2p     1
                                          dxdy                                           rd r
        M = 2 2 тт                                           = 2 2 т dj              т                =
                                               2         2                                       2
                               W      4- x - y                                0      0   4- r
                                1               1
                                            2 - 2
        = -        2 Ч2p т (4 -            r ) d (4          - r 2) =
                                  0

                                                   1
        = - 2 2p Ч2 4 - r 2                            = - 4 2p ( 3 - 2) = 4 2p (2 -                       3).
                                                   0


        3)         Моменты:

                M xy =   тт z g(x , y, z )dS , M xz              =       тт y gdS , M yz     =       тт x gdS -      (94)
                              S                                           S                           S

        -          статические                         моменты                     поверхности            относительно
координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

Ix =    тт (y 2 +            z 2 )g (x , y , z )dS ,
            S

Iy =    тт (x 2 +            z 2 )g (x , y , z )dS ,                                                              (95)
            S

Iz =    тт (x 2 +            y 2 )g (x , y , z )dS
            S

        -          моменты инерции поверхности относительно координатных
осей;

            I xy =   тт z 2 g(x , y, z )dS , I xz            =   тт y 2 gdS , I yz       =   тт x 2 gdS       -     (96)
                         S                                           S                           S



                                                                 74

Страницы