Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

73
()
()
1
222
0
1
32 4 3 2
0
((5)4(25)(1 )(25) 25 (1 ))
1
73
500 73 296 74 125 148 74
3
0
226
.
3
tt tt tttdt
tt tdt t t tt
=-Ч -++-++-++=
=- - + - =- - + - =
=-
т
т
4. Поверхностный интеграл 1-го рода
1) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой
z = f(x, y), можно найти в виде:
22
1
xy
S
SdS ffdxdy
W
ўў
==++
тт тт
(92)
(Ω – проекция S на плоскость Оху).
2)
Масса поверхности
( , , ) .
S
M
xyzdSg=
тт
(93)
Пример 25
.
Найти массу поверхности S: x
2
+ y
2
+ z
2
= 4, 32,zЈЈ с
поверхностной плотностью 2g = .
Зададим поверхность S в явном виде:
22
4zxy=--
и найдем
dS:
22
22
22 22
22
11
44
2
4
xy
xy
dS z z dxdy dxdy
xy xy
dxdy
xy
ўў
=++ =+ + =
-- --
=
--
. 
      1
=   т ((-       5) Ч4(2 - 5t )2 (1 + t ) + (2 - 5t )2 + t 2 + 2 - 5t + t (1 + t ))dt =
      0

      1                                                                                              1
= т (- 500t 3 - 73t 2 + 296t - 74 )dt = - 125t 4 -
      0
                                                   73 3
                                                    3           (
                                                      t + 148t 2 - 74t                           )       =
                                                                                                     0
          226
= -           .
           3


4. Поверхностный интеграл 1-го рода


           1)      Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой
           z = f(x, y), можно найти в виде:

                              S =      тт dS      =   тт        1 + fxў2 + fyў2dxdy              (92)
                                        S               W

           (Ω – проекция S на плоскость Оху).


           2)      Масса поверхности

                                                  M =      тт g(x , y, z )dS .                   (93)
                                                            S



           Пример 25.
           Найти массу поверхности S: x2 + y2 + z2 = 4,                                   3 Ј z Ј 2, с
поверхностной плотностью g =                          2.

           Зададим поверхность S в явном виде: z =                               4 - x 2 - y 2 и найдем
dS:
                                                               x2            y2
           dS =      1+   z xў2   +   z yў2dxdy   =     1+             +             dxdy =
                                                           4 - x2 - y2   4 - x2 - y2
                    2dxdy
           =
                  4 - x2 - y2
.

                                                        73

Страницы