Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Логинов А.Ю - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

39
имеем:
Q
x
-
P
y
> 0. Так как в левой части неравенства стоит
непрерывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0
в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,
0.
D
DD
QP
dxdy dxdy S
xy
dd
ў
ўў
¶¶
жц
ч
з
->=>
ч
з
ч
иш
¶¶
тт тт
Отсюда по формуле Грина получаем, что
0
L
D
QP
Pdx Qdy dxdy
xy
ўў
¶¶
жц
ч
з
+= - >
ч
з
ч
иш
¶¶
ттт
С
, где L` - контур,
ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию
0
L
Pdx Qdy+=
т
С
. Следовательно,
Q
x
=
P
y
во всех точках области D,
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства
можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями
независимости криволинейного интеграла
()MN
Pdx Qdy Rdz++
т
от пути интегрирования являются:
,,
R
QP RQ P
yzzxxy
¶¶
===
¶¶ ¶¶
. (52)
Замечание 2. При выполнении условий (52) выражение Pdx + Qdy
+Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это
позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению
разности значений и в конечной и начальной точках контура
интегрирования, так как
() ()
() ( ).
MN MN
Pdx Qdy Rdz du u N u M++= = -
тт
            ¶Q   ¶P
имеем:         -             > 0. Так как в левой части неравенства стоит
            ¶x   ¶y
непрерывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0
в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,
                          ж¶ Q       ¶P   ц
                                          ч
                   тт ззи ¶ x    -
                                     ¶y   чdxdy > dтт dxdy = dS D ў > 0.
                                          ш
                    Dў                                   Dў

     Отсюда             по           формуле             Грина          получаем,         что
                      ж¶ Q ¶ P            ц
тСPdx + Qdy =      тт ззи ¶ x - ¶ y       ч
                                          чdxdy > 0 ,
                                          ш
                                                               где      L`      -     контур,
Lў                  ў
                    D

ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию
                                                ¶Q ¶P
тСPdx + Qdy = 0 . Следовательно,                ¶x
                                                   =
                                                     ¶y
                                                        во всех точках области D,
L

что и требовалось доказать.


     Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства
можно      доказать,      что    необходимыми            и      достаточными        условиями
независимости криволинейного интеграла

                                      т       Pdx + Qdy + R dz
                                     ( MN )

     от пути интегрирования являются:
                                 ¶R   ¶Q ¶P   ¶R ¶Q   ¶P
                                    =   ,   =   ,   =    .                             (52)
                                 ¶y   ¶z ¶z   ¶x ¶x   ¶y


     Замечание 2. При выполнении условий (52) выражение Pdx + Qdy
+Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это
позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению
разности     значений        и   в    конечной       и        начальной      точках   контура
интегрирования, так как

                  т       Pdx + Qdy + R dz =             т    du = u (N ) - u (M ).
                 ( MN )                              ( MN )



                                                39

Страницы