Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 36 стр.

                                                              36
     П3. Непрерывные вейвлет-даграммы Морле.
     Пусть ψ (t ) - некоторая быстро-убывающая функция, удовлетворяющая условию
                      +∞                                                +∞
допустимости:          ∫ ψ (t ) dt = 0   и условию нормировки:          ∫ |ψ (t ) |    dt = 1 . Непрерывным вейвлет-
                                                                                   2

                      −∞                                                −∞

преобразованием сигнала x( s ) называется величина, зависящая от двух параметров
(t , a ), a > 0 :
                                                  +∞                          +∞
                                             1                 ⎛ s −t ⎞
                              Wx(t , a) =
                                              a   ∫−∞ x(s) ⋅ψ ⎜⎝ a ⎟⎠ ds = a −∞∫ x(t + av) ⋅ψ (v) dv           (3.1)



Здесь t - момент времени, a > 0 - параметр масштаба, который далее часто будем называть
более привычным термином «период». Величина (3.1) отражает поведение исследуемого
сигнала в окрестности точки t с характерным масштабом вариаций a . Для сигнала с
дискретным временем вычисление величин (3.1) может быть эффективно реализовано с
помощью быстрого преобразования Фурье. Нашей непосредственной целью является
построение 2-мерной карты значений модуля величины (3.1): | Wx(t , a ) | , которая дает
наглядное           представление        о   динамике         возникновения,           эволюции    и   исчезновения
«характерных периодов» короткоживущих всплесков исследуемого сигнала. Естественно,
что величина (3.1) сильно зависит от выбора функции ψ (t ) . Выбор той или иной функции
ψ (t ) определяется тем, какого вида короткоживущие сигналы мы хотим изучать.
     Следует подчеркнуть, что для конечной выборки и для данного масштаба a на концах
временного интервала существуют «мертвые» отрезки времени, такие, что для моментов
времени t , принадлежащих этим отрезкам, «не хватает» данных либо слева, либо справа от
точки t для вычисления (3.1). При использовании быстрого преобразования Фурье сигнал
рассматривается на кольце и поэтому, если он содержит сильный низкочастотный тренд, то
для моментов времени t , близких к началу и к концу выборки, возникают сильные всплески
значений | Wx (t , a ) | , которые могут сильно маскировать «полезные» вариации величин (3.1)
внутри интервала. Поэтому перед вычислением непрерывного вейвлет-преобразования
рекомендуется избавляться от низкочастотных трендов и, кроме того, при интерпретации
непрерывных вейвлет-диаграмм вводить поправки на то, что значения | Wx(t , a ) | для
моментов времени t , близких к началу и концу интервала задания сигнала, на самом деле не
отражают истинных свойств сигнала. Для данного масштаба a длина «мертвых» отрезков
времени, примыкающих к концам выборки обычно пропорциональна масштабу. Для
вейвлетов, скорость затухания которых задается множителем в виде гауссовской функции,
эту длину можно положить равной 3a .