Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 38 стр.

                                                38
                                                 N                         N
                               Ac = R,    A=    ∑ Y (t )Y
                                               t = p +1
                                                            T
                                                                (t ), R = ∑ x(t )Y (t )
                                                                         t = p +1
                                                                                          (4.4)



   Решение уравнений (4.4) автоматически удовлетворяет условию устойчивости AR(p)-
                                    p
модели: все корни полинома λ p + ∑ ak λ p − k по модулю строго меньше 1 [1,8]. Однако при
                                   k =1


больших порядках p решение системы (4.4) становится достаточно трудоемким, особенно
если его надо решать многократно. Поэтому обычно предполагают стационарность выборки,
от параметра d освобождаются тем, что вычитают из значений выборочную оценку
среднего, а элементы aij матрицы A размером теперь уже p × p заменяют на значения γ |i − j| ,

где γ k – выборочные оценки ковариационной последовательности M {x(t ) x(t + k )} , M {...} –

знак математического ожидания. В этом случае матрица A становится теплицевой
(симметричной неотрицательно определенной и по всем диагоналям стоят одинаковые
элементы), для обращения которой существует быстрый итерационный метод Дарбина-
Левинсона [4,8], при котором порядок авторегрессии последовательно увеличивается от 1-го
до искомого на единицу. Полученная таким образом оценка параметров AR(p)-модели
известна как оценка Юла-Уолкера. Однако эта оценка довольно часто теряет устойчивость
при выполнении итераций Дарбина-Левинсона, особенно если теплицева матрица A имеет
диагонали, на которых стоят значения, близкие к значениям на главной диагонали матрицы
(при наличии сильных монохроматических компонент в сигнале). В 1969 году Бургом была
предложена модификация метода Юла-Уолкера, состоящая по-прежнему в использовании
итераций Дарбина-Левинсона в последовательном увеличении порядка авторегрессии.
Однако на этот раз при каждом увеличении порядка p − 1 → p эти итерации используются
лишь для изменения «старых» коэффициентов a j , j = 1,..., ( p − 1) , а каждый «новый»

коэффициент a p (старший коэффициент модели AR(p), известный также как «коэффициент

отражения»), находится из условия минимума суммы квадратов ошибок прогноза на шаг
вперед и назад в силу AR(p)-модели. Одновременно для каждого текущего порядка модели
авторегрессии, увеличивающегося от 1 до p , находится оценка дисперсии σ 2 . Этот метод,
который подробно изложен в [8], оказался исключительно эффективным и устойчивым –
именно он и будет использоваться в дальнейшем для идентификации параметров AR(p)-
моделей.
   После определения значений параметров модели (4.1) они могут быть использованы для
построения параметрической оценки спектра мощности временного ряда: