Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40
П5. Длинные цепи максимумов модулей непрерывных вейвлет-преобразований.
Пусть
()
x
t
– анализируемый сигнал. Масштабно-зависимое сглаживание сигнала с
помощью некоторого ядра усреднения дается формулой [10]:
:
00
(, ) ( ) ( ) ( )
+∞ +∞
−∞ −∞
=+⋅
∫∫
x
t a x t av v dv v dv
ψψ
(5.1)
где – масштаб, а
0>a
0
()t
ψ
является некоторой быстро-затухающей функцией. В
дальнейшем мы будем использовать гауссовское ядро:
2
0
( ) exp( )
=
−tt
ψ
. Определим ядро
непрерывного вейвлет-преобразования:
()
0
0
()
() ( 1) ( 1) ()=− ⋅ ≡− ⋅
n
nn
n
n
dt
t
dt
ψ
n
t
ψ
ψ
(5.2)
Используя формулу интегрирования по частям и свойство быстрого затухания функции
0
()t
ψ
, нетрудно получить следующую формулу для производной заданного порядка от
сглаженной функции (5.1), деленной на (коэффициент Тейлора):
n
!n
1(,)
(, ) ( ) ( ) ( )
!
+∞ +∞
−∞ −∞
≡=+⋅ ⋅
∫∫
n
nn
nn
n
dxta
c t a x t av v dv a v v dv
ndt
ψψ
n
n
cta
(5.3)
Заметим, что формула (5.1) является частным случаем формулы (5.3) для .
0=n
Точка максимума модуля вейвлет-преобразования (WTMM-точка) для
определяется как точка локального максимума величин | по отношению к
изменениям времени t для заданного масштаба . Что же касается
(, )ta
1≥n
|(,)
a 0
=
n
, то для этого случая
определим WTMM-точки как просто точки локальных экстремумов (как минимумов, так и
максимумов) сглаженного сигнала . WTMM-точки могут быть объединены в цепи, а
множество всех цепей из таких точек образуют скелет непрерывного вейвлет-
преобразования сигнала. Если
0
(, )cta
0
()t
ψ
является гауссовским ядром усреднения, то цепи
скелета вейвлет-преобразований являются непрерывными при стремлении масштаба
[7,15]. WTMM-точки для первой производной выделяют моменты времени
максимальных масштабно-зависимых трендов (как положительных, так и отрицательных)
сглаженного сигнала для заданного значения масштаба .
0→a
1
(, )cta
0
(, )cta
a
                                                                   40
   П5. Длинные цепи максимумов модулей непрерывных вейвлет-преобразований.
   Пусть x(t ) – анализируемый сигнал. Масштабно-зависимое сглаживание сигнала с
помощью некоторого ядра усреднения дается формулой [10]:
   :
                                                        +∞                                +∞
                                         x (t , a ) =   ∫
                                                        −∞
                                                             x(t + av) ⋅ψ 0 (v) dv        ∫ψ
                                                                                          −∞
                                                                                                0   (v) dv                     (5.1)



где a > 0 – масштаб, а ψ 0 (t ) является некоторой быстро-затухающей функцией. В

дальнейшем мы будем использовать гауссовское ядро: ψ 0 (t ) = exp(−t 2 ) . Определим ядро
непрерывного вейвлет-преобразования:


                                                              d nψ 0 (t )
                                    ψ n (t ) = (−1) n ⋅                   ≡ (−1) n ⋅ψ (0n ) (t )                               (5.2)
                                                                 dt n


Используя формулу интегрирования по частям и свойство быстрого затухания функции
ψ 0 (t ) , нетрудно получить следующую формулу для производной заданного порядка n от
сглаженной функции (5.1), деленной на n! (коэффициент Тейлора):


                                                             +∞                                     +∞
                                    1 d n x (t , a)
                    cn (t , a ) ≡                   = ∫ x(t + av) ⋅ψ n (v) dv                  an   ∫v
                                                                                                         n
                                                                                                             ⋅ψ n (v) dv       (5.3)
                                    n ! dt n          −∞                                            −∞




Заметим, что формула (5.1) является частным случаем формулы (5.3) для n = 0 .
   Точка максимума модуля вейвлет-преобразования (WTMM-точка) (t , a ) для n ≥ 1
определяется как точка локального максимума величин | cn (t , a ) | по отношению к

изменениям времени t для заданного масштаба a . Что же касается n = 0 , то для этого случая
определим WTMM-точки как просто точки локальных экстремумов (как минимумов, так и
максимумов) сглаженного сигнала c0 (t , a) . WTMM-точки могут быть объединены в цепи, а

множество    всех    цепей          из     таких         точек          образуют         скелет              непрерывного   вейвлет-
преобразования сигнала. Если ψ 0 (t ) является гауссовским ядром усреднения, то цепи

скелета вейвлет-преобразований являются непрерывными при стремлении масштаба a → 0
[7,15]. WTMM-точки для первой производной c1 (t , a )                                          выделяют моменты времени
максимальных масштабно-зависимых трендов (как положительных, так и отрицательных)
сглаженного сигнала c0 (t , a) для заданного значения масштаба a .

Страницы