Разведочный анализ свойств временных рядов на основе использования интерактивной программы Spectra_Analyzer. Любушин А.А. - 39 стр.

                                                       39
                                                                   σ2
                                             S xx (ω ) =           p
                                                                                                              (4.5)
                                                           2π |1 + ∑ ak e   − iω k 2
                                                                                  |
                                                                  k =1




которая    следует    из   представления           Крамера        [2]    для           стационарной   случайной
последовательности, 0 < ω < π – частота.
    Первичным параметром модели (4.1) является порядок авторегрессии p . Несмотря на
многочисленные попытки дать формальный критерий определения оптимального порядка
p , эта задача так и нашла окончательного решения, а предлагаемые методы не выходят за
рамки эмпирических правил. Порядок AR-модели меняется для одних и тех же данных в
зависимости от целей использования [5]. Для прогноза на один или несколько шагов вперед
порядок обычно небольшой и редко достигает 10. Если же целью является получение
параметрической спектральной оценки (4.5), то порядок                                  p   имеет смысл брать
значительным: p = N /10 ÷ N / 4 . При этом надо иметь в виду, что чем больше порядок, тем
чувствительнее оценка, но, одновременно, тем она более неустойчива и содержит больше
статистических флуктуаций.
    Пусть число отсчетов N временного ряда достаточно велико и его спектральные
свойства медленно меняются со временем. Тогда можно рассмотреть задачу оценки
эволюции спектра мощности в скользящем временном окне некоторой длины L < N со
взаимным смещением ΔL значений. Пусть τ – временная координата правого конца
текущего временного окна. Оценим для отсчетов τ − L + 1 ≤ t ≤ τ модель AR(p) и вычислим
оценку спектра мощности (4.5). В этом случае ее можно записать в виде, подчеркивающем
зависимость от положения и длины окна: S xx = S xx (ω ,τ | L) . С учетом разрешения по частоте

Δω = 2π / L на выборке длиной L отсчетов, формулу (4.5) имеет смысл применять для
значений частот ω j = 2π j / L,   j = 1,..., ( L − 1) / 2 .

    Построение двумерных карт или рельефов S xx (ω ,τ | L) на плоскости «частота- время»

(ω ,τ ) в русскоязычной литературе традиционно имеет аббревиатуру СВАН (спектрально-
временной анализ). Обычно для этой цели используется дискретное преобразование Фурье
от выборки в текущем временном окне, вычисление периодограммы и ее усреднение по
частотам тем или иным способом для уменьшения дисперсии оценки. Опыт показывает, что
использование     AR-модели       дает    более       устойчивые         результаты.         Кроме    того,   при
использовании оценки (4.5) отсутствуют побочные эффекты, связанные с цикличностью
дискретного преобразования Фурье от конечной выборки [2, 4].